Фиктивные переменные.

Среди водителей был проведен опрос, в котором спрашивалось, какой автомобиль они хотели бы себе купить/уже купили с учетом ух опыта вождения. При этом важно, что спрашивалась цена, которую водители объективно готовы заплатить, а не ту, которую хотели бы иметь.

По данным опроса 50 водителей, исследуем зависимость стоимости автомобиля (y, руб.) от возраста водителя (лет), с учетом его опыта вождения (лет). Построим регрессионную модель:

Таблица 22 Регрессия

Формальное применение метода наименьших квадратов с включением стажа показывает, что влияние опыта водителя и его возраста на стоимость имеющегося автомобиля не значимо. На уровне значимости 17% можно говорить о влиянии возраста автовладельца на его выбор, однако, не учитывается его стаж.

Чтобы учесть показатель стажа, нужно либо сгруппировать водителей по «опытности» и построить для каждой группы свою модель, либо ввести фиктивные переменные.

Сгруппируем водителей по следующему признаку:

1. От 0 до 2 лет вождения - «новичок»

2. От 2 до 5

3. От 5 до 10

4. Свыше 10 - «опытный»

Таблица 23 группировка 1

Первый подход к построению регрессионной модели следует отвергнуть из-за малого числа наблюдений в группах. Можно, правда, уменьшить число групп.

Например, проведем следующее деление:

Таблица 24 группировка 2

Регрессионный анализ для первой группы позволяет сделать качественные выводы, поскольку все коэффициенты, как и все уравнение – значимы на уровне значимости 0,005.

Таблица 25 Регрессионная модель 1й группы

То есть, с увеличением стажа водителя категории «новичок» на один год, цена выбираемого им автомобиля увеличивается на 24232 рубля, а с увеличением возраста на год – стоимость повышается на 11118,2 руб. Коэффициент b0 в данном случае не имеет экономической интерпретации.

Для второй группы таких выводов сделать нельзя, т.к. не все коэффициенты регрессии значимы.

Таблица 26 Регрессионная модель 2-й группы

Возможно, неадекватность модели вызвана малым объемом выборки.

Таким образом, группировка и отдельные модели не позволяют решить задачу учета влияния обоих факторов на объясняемую переменную.

Построим модель с использованием дамми-переменной d:

Эта переменная имеет смысл «опытности» водителя.

Уравнение будет иметь вид:

Значение равно разности между оценками условных математических ожиданий объясняемой переменной для указанных групп данных. Оно и определяет структурный сдвиг в этих данных.

В результате оценивания уравнения с дамми-переменной получаем, что модель значима на уровне значимости 0,05, причем, фактор «опытности» значим на уровне 6,6%.

Таблица 27 Регрессия с дамми-переменными

Средняя стоимость предпочитаемого автомобиля опытными водителями больше стоимости авто «новичков» на 75865руб.

Теперь введем перекрестную дамми-переменную dx.Тогда уравнение примет вид:

Значение равно разности между оценками коэффициентов регрессии для указанных групп данных и характеризует усиление или ослабление влияния регрессора на объясняемую переменную для данных группы с d=1 относительно данных группы с d=0.

В результате оценивания уравнения с перекрестной дамми-переменной получаем, что модель значима на уровне значимости 0,05, причем, фактор «опытности» незначим.

Таблица 28 Регрессия с перекрестными дамми-переменными

Оценивание модели показывает, что влияние стажа на стоимость приобретаемого автомобиля связано с положением водителя в той или иной группе. Однако коэффициент значим на уровне значимости 36,7%, таким результатам доверять не стоит. Это может объясняться неудачной группировкой выборки, например, группу «опытных водителей» можно определять от 8ми или от 5ти лет стажа вождения.

Исследуем влияние стажа на стоимость автомобиля с учетом конкретного количества лет опыта вождения. Чтобы избежать громоздкости вычисления, рассмотрим только первую группу (водители с опытом от 0 до 5 лет). Заметим, что базовой группой (значения всех di равно 0) является группа водителей, не имеющих стажа вождения вообще.

Введем 5 фиктивных переменных d_i , (i=1,2,3,4,5):

Значение равно разности между оценками условных математических ожиданий объясняемой переменной для данных группы с d₁=1 и данных базовой группы.

Таблица 29 Модель с 5 фиктивными переменными для 1 группы

Модель значима на уровне значимости 0,05, однако не все коэффициенты регрессии значимы.

Для выбора оптимальной модели можно использовать пошаговые алгоритмы включения-исключения факторов.

Например, построим модель только с d₁.

Таблица 30 Регрессионная модель с 1й фиктивной переменной

Для водителя, который сдал на права год назад, цена автомобиля превышает среднее значение для базовой группы (тех, у кого стаж вождения 0 лет). Имеет место значимое (на уровне значимости 0,05) влияние стажа на стоимость предпочитаемого авто.

Используем перекрестные дамми-переменные.

Таблица 31 Регрессионная модель с дамми-переменными и перекрестными дамми-переменнымими

Уравнение в целом значимо на уровне значимости 8%. Однако использовать ее нельзя, т.к коэффициенты регрессии незначимы.

Улучшим модель, использую процедуры отбора регрессоров.

Далее приводятся некоторые частные случаи вариантов регрессии с интерпретацией результатов оценок параметров.

Таблица 32 Частный вариант регрессии

Вся модель значима на уровне значимости 0,05. Однако коэффициенты при d1 и d1x1 незначимы. Это может быть связанно с мультиколлинеарностью – коэффициент корреляции r между ними равен 0,997.

Таблица 33 Частный вариант регрессии

Вся модель значима на уровне значимости 0,01. Все коэффициенты значимы. Наличие двухлетнего опыта оказывает отрицательное влияние возраста на стоимость предпочитаемого автомобиля. Стоимость автомобиля у человека со стажем два года почти на 29 тыс. ниже, чем у водителя с однолетним стажем. Такие выводы допустимы для исследуемой группы с логической точки зрения. Эта модель так же является наилучшим из всех уравнений с различной комбинацией фиктивных переменных (т.к. в большинстве остальных моделей коэффициенты регрессии не значимы).