1.2 Кривые второго порядка в полярных координатах

Полярными координатами точки М на плоскости называется полярный радиус >0 и полярный угол , отсчитываемый от полярной оси ОР к отрезку ОМ против движения часовой стрелки ( <0, если поворот осуществляется по часовой стрелке). Значение угла, удовлетворяющее условию 0 , называют главным значением.

Прямоугольные декартовы координаты и полярные координаты точки М, при условии, что начало декартовой системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси Ох декартовой системы координат совпадает с направлением полярной оси, связаны формулами:

		(6)

Уравнение линии на плоскости в полярных координатах:

(7)

Примеры некоторых кривых и их уравнений в полярных координатах:

r=	спираль Архимеда	(8)
r=	гиперболическая спираль	(9)
r=	логарифмическая спираль	(10)
	лемниската Бернулли	(11)
r=	четырехлепестковая роза	(12)
r=	кардиоида	(13)
r=	улитка Паскаля	(14)
r=	эллипс, если <1, парабола, если =1, гипербола, если >1.	(15)

Рисунок 1 – Спираль Архимеда		Рисунок 2 – Гиперболическая спираль
Рисунок 3 – Логарифмическая спираль	Рисунок 4 – Лемниската Бернулли
Рисунок 5 – Четырехлепестковая роза	Рисунок 6 – Кардиоида
Рисунок 7 – Улитка Паскаля

1.3 Параметрические уравнения

Параметрическими уравнениями линии на плоскости называются уравнения вида:

(16)

где - функции переменной t.

1.4 Преобразования прямоугольных координат

Координаты (x;y) точки М в прямоугольной декартовой системе координат Оxy (старой) и ее координаты (X;Y) в другой прямоугольной системе О₁XY (новой) связаны формулами:

при параллельном переносе или

где (a; b) - координаты нового начала О₁ в старой системе координат;

при повороте осей вокруг начала координат на угол :

Уравнение вида (1) путем выделения полного квадрата и используя далее преобразования прямоугольных координат, о которых говорилось выше, можно привести к одному из видов (2)-(5).