Соотношения для напряженного состояния трубы в пределах упругости
В пределах упругого деформирования диаграмма деформирования описывается выражением:
,
где G – модуль упругости материала второго рода.
Заметим,
что для случая несжимаемого материала
диаграммы напряжений и деформирования
совпадают, т.е.
.
Решение
задачи начнем с подстановки в выражение
(13) диаграммы деформирования, описывающей
линейно-упругое поведение материала -
:
,
где
- постоянная интегрирования.
Принимая во внимание зависимость (11) выражение для радиальных напряжений примет вид:
,
(16)
Постоянные
и
определим из следующих граничных
условий:
при
;
при
.
Подставляя краевые условия в (16) после решения системы уравнений найдем:
;
(17)
.
Используя
найденные значения постоянных
и
и соотношение (16) получим зависимость
изменения радиальных напряжений вдоль
свода цилиндра:
;
(18)
где
– геометрический параметр задачи.
Изменение окружных напряжений вдоль свода цилиндра найдем из выражения (14):
.
(19)
Как и следовало ожидать соотношения (18) и (19) в точности повторяют найденные ранее решения для радиальных и окружных напряжений (23), (24) для случая действия только внутреннего давления.
Распределение осевых напряжений вдоль свода цилиндра найдем при помощи (18) и (19) из (5):
.
(20)
Соотношения для напряженного состояния трубы при ее упругопластическом деформировании для диаграммы деформирования с линейным упрочнением
Пусть цилиндр с внутренним отверстием a, с внешним радиусом b находится под действием внутреннего давления . Линейно-упругое поведение материала с линейным упрочнением схематизируется диаграммой деформирования в виде (рисунок 1):
при
,
то есть при
,
(21)
при
,
то есть при
,
(22)
где
– параметр упрочнения.
Заметим,
что для случая несжимаемого материала
цилиндра
,
.
Подставляя выражение (21) в (13) для радиальных напряжений получим:
В результате интегрирования этого соотношения придем:
,
(23)
где - постоянная интегрирования.
Окружные напряжения, действующие в пластической области цилиндра, найдем из соотношения (14), (21) и (23):
,
или после приведения подобных членов, придем:
.
(24)
Осевые напряжения получим из (15)
.
(25)
Итак, соотношения (23 – 25) определяют напряженное состояние цилиндра в пластической области . В области упругого деформирования распределения радиальных, окружных и осевых напряжений вдоль свода цилиндра могут быть представлены зависимостями:
;
;
,
(26)
где A и B константы, подлежащие определению.
Константы задачи - , A и B найдем из следующих краевых условий:
1. при ; (27)
2.
при
,
,
;
(28)
3.
при
,
(29)
где индексами «п» и «у» отмечаются напряженные состояния в пластической и упругой областях цилиндра, соответственно.
Из первого краевого условия при помощи первого из соотношений (26), найдем:
.
(30)
Из второго краевого условия задачи и соотношения (11) определим неизвестную константу :
.
(31)
Тогда выражение для интенсивности деформаций (11) примет вид:
,
или
.
(32)
Из диаграммы деформирования (21) и второго краевого условия получим:
или
.
(33)
Из второго и третьего краевых условий, с использованием соотношений (23, 24, 26) найдем:
;
(34)
.
(35)
Решая систему уравнений (30), (34), (35) относительно неизвестных A, B и получим:
(36)
Подставляя величину постоянной из (35) в выражение (23), учитывая так же, что интенсивность напряжений следует закону (32), получим распределение радиальных напряжений в пластической области:
.
После преобразований и приведения подобных найдем:
.
(37)
Используя
соотношения (32) и (33), второй член в скобках
выражения (37) запишется в виде:
,
при этом выражение (37) в окончательном
виде представится зависимостью:
.
Проведя аналогичные преобразования для окружных (24) и осевых (25) напряжений получим их распределение в пластической области :
;
;
(38)
.
Заметим, что радиус раздела упругой и пластической областей цилиндра находится в прямой зависимости от величины внутреннего давления . Соотношение, связывающее радиус границы пластической области с величиной внутреннего давления получим из первого уравнения зависимостей (38) и следующего краевого условия:
при
,
то есть:
.
(39)
При заданном значении внутреннего давления уравнение (39) относительно радиуса решается графически или численно, например методом половинного деления.
В упругой области цилиндра распределение напряжений получим из соотношений (26) при значениях постоянных A и B из (36):
;
;
(40)
.