3.Проста модель макроекономічної динаміки

Розглянемо модель із дискретним часом.

Дохід у момент часу t:

, (3.1)

де C_t - сума споживання в момент часу t, I_t - сума інвестицій у момент часу t.

Економіка вважається закритою, імпорт і експорт відсутній. Державні видатки не виділяються. Передбачається, що ріст доходу пропорційний інвестиціям:

^, (3.2)

де В - коефіцієнт капіталоємкості приросту доходу, - приростна капіталовіддача.

Модель будується на наступних передумовах.

1. Інвестиційний лаг відсутній. Інвестиції миттєво переходять у приріст капіталу.

2. Вибуття капіталу відсутній.

З (3.1) і (3.2) одержуємо різницеве рівняння для доходу

.

4. Однофакторна модель економічної динаміки (дискретний аналог моделі Солоу)

4.1 Висновок моделі

Солоу запропонував безперервну динамічну модель, що адекватно відображає найважливіші показники процесу розширення виробництва. У справжнім методичному керівництві приводиться дискретний аналог моделі Солоу.

Будемо вважати, що стан економіки заданий наступними величинами, що є дискретними функціями часу:

Y_t – обсяг кінцевого продукту;

С_t – фонд безперервного споживання;

S_t – валовий фонд нагромадження;

L_t – обсяг трудових ресурсів;

K_t – обсяг основних фондів.

Передбачається, що ресурси , використовуються повністю в період часу t.

Задамо обсяг кінцевого продукту у вигляді виробничої функції

, (4.1)

Причому,

, (4.2)

Фонд нагромадження представляє частину кінцевого продукту:

S_t = sY_t, (4.3)

де s = const,– норма нагромадження, 0<s<1.

Чистий приріст основних фондів:

K_t+1 - K_t = K_t.

Будемо вважати, що величина вибуття основних фондів пропорційна їхньому обсягу з постійним у часі коефіцієнтом μ. Таким чином, підлягає відновленню в t-ом періоді μК_t основних фондів. Отже, фонд нагромадження рівняється:

S_t = K_t+1 -K_t + μK_t,, 0<μ<1, μ = const, (4.4)

Рівняння динаміки робочої сили одержимо, виходячи з умови, що приріст робочої сили пропорційний її обсягу:

L_t+1 - L_t = gL_t, g = const, (4.5)

Нижче розглядаються виробничі функції лінійно однорідні при всіх K_t,, L_t . Ця властивість полягає в тому, що для будь-якого a>0 має місце співвідношення:

.

З урахуванням властивості лінійної однорідності виробничої функції одержуємо з (4.1):

, (4.6)

де - фондоозброєність праці. Функція встановлює залежність обсягу кінцевого продукту від фондоозброєності.

Для виробничої функції Кобба-Дугласа .

Для виробничої функції CES (constant elasticity of substitution – постійна еластичність заміщення) .

Виробнича функція Кобба-Дугласа - окремий випадок виробничої функції CES.

Різницеве рівняння для опису зміни k_t у часі має такий вигляд:

(4.7)

Звідси приріст фондоозброєності

.

Нехай для (система розвивається з постійної фондоозброєністью). Із цієї умови й різницевого рівняння (4.7) одержуємо рівняння для визначення

, (4.8)

де . Тут  - коефіцієнт вибуття основних фондів; коефіцієнт g характеризує ріст робочої сили..

Існування рішення рівняння (4.8) визначається наступною теоремою.

Теорема 4.1. Якщо , те існує єдине значення , для якого для .

Рішення рівняння (4.8) ілюструє мал.4.1.

Рис. 4.1

Для виробничої функції Кобба-Дугласа рішення рівняння (4.8) для буде мати вигляд

.