1.4. Тригонометрическая форма комплексного числа
Последнее равенство является тригонометрической формой комплексного числа в отличие от ранее введенной, называемой алгебраической:
,
где
,
.
Пример 2. Записать числа в тригонометрической форме.
1) 
.
Решение.
;
(рис.2)
.
2) 
.
Решение.
;
;
,
где
(рис. 3);
.
Таким образом, получим
.
3) 
.
Решение.
;
,
где
(рис. 4);
.
Откуда имеем
.
Замечание. В силу того, что функция tg φ имеет период π, то при определении arg z по зависимости (1.2), необходимо дополнительно учитывать четверть, которой принадлежит комплексное число z.
Легко убедиться, что два комплексных числа будут равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, пропорциональное 2π:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа удобна для умножения и деления комплексных чисел и для возведения их в целую положительную степень.
1. Произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
.
Таким образом, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а одним из значений аргумента является сумма аргументов сомножителей, то есть:
;
,
.
2. Комплексно-сопряженные числа в тригонометрической форме.
.
Таким образом, имеем
и
На
комплексной плоскости числа
и
располагаются симметрично относительно
вещественной оси
(рис. 5).
3. Обратное число в тригонометрической форме.
Число,
обратное комплексному числу
,
определяется с учетом полученных
результатов, так:
,
где
.
(1.3)
4. Деление двух чисел, записанных в тригонометрической форме.
Из
предыдущего пункта получим правило
деления комплексных чисел
в тригонометрической форме:
.
Таким образом, модуль частного комплексных чисел равен частному их модулю, а аргумент равен разности соответствующих аргументов:
;
.
Пример 3.
;
.
Найти произведение и частное этих
чисел двумя способами.
Решение.
1) Запишем числа в тригонометрической форме:
;
;
;
;
;
;
;
.
Тогда имеем
;
.
2) Проверим полученные результаты, выполнив умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме:
;
.
5. Возведение комплексного числа в целую положительную степень.
Получим правило возведения в целую положительную степень из правила умножения комплексных чисел:
;
и
т.д.
Можно предположить, что для любого целого положительного n справедливо:
.
Докажем это по методу математической индукции. Имеем:
1) Формула верна при n = 2 (см. выше).
2) Пусть
формула справедлива при некотором n.
Докажем, что она будет верна и при
:
,
что и требовалось доказать.
6. Возведение комплексного числа в целую отрицательную степень.
При возведении комплексного числа в целую отрицательную степень получим:
.
Здесь была учтена формула (1.3).
Таким образом, справедлива формула
,
где
.
(1.4)
Пример 4.
.
Найти
двумя способами.
Решение. 1) Запишем комплексное число z в тригонометрической форме:
;
;
;
.
.
Тогда получим
.
2) Найдем алгебраическим способом (на основе формулы бинома Ньютона).
.