Вопрос 5. Определение объема выборки при оценке среднего.

Выборочное распределение статистики является основой для определения выборки. Если известен размах выборочного распределения, можно определить величину ошибки, связанную с той или иной оценкой. Ошибка, связанная с оценкой генерального среднего по выборочному среднему, определяется среднеквадратической ошибкой среднего.

.

Или отношением среднеквадратического отклонения выборки к квадратному корню из объема выборки при неизвестной генеральной дисперсии.

.

Поэтому главным фактором оценки объема выборки должна стать среднеквадратическая ошибка оценки, определяемая из заданного выборочного распределения статистики.

При определении объема выборки необходимо учитывать точность и достоверность выборки.

Точность - степень ошибочности результатов обследования или раз­мер доверительного интервала. Абсолютная точность за­дается определенным интервалом, в котором должно на­ходиться оцениваемое значение. Относительная точность определяется относительно уровня оценки параметра.

Достоверность - степень уверенности в том, что оценка близка к истинному значению.

Для выборки фиксированного объема степень точности и степень достоверности являются связанными величинами. Можно определить либо одну, либо другую величины, но не обе одновре­менно.

Определение объема выборки при оценке среднего.

Рассмотрим случай, когда генеральная дисперсия известна.

Дисперсия генеральной совокупности ² может быть известна из предыдущих исследований. Это означает, что размах распределения _х^-, заданного среднеквадратичной ошибкой оценки известен с точностью до коэффициента пропорциональности квадратному корню из объема выборки, т.к.

.

Доверительный уровень того, что построенный интервал будет содержать в себе генеральное среднее, часто принимается 95%. При этом коэффициент Стьюдента (t_c) равен примерно 2. И так как размер заданного полуинтервала (Н) определяется:

,

то можно относительно определить объем выборки, т.к. Н и t_c заданы, а  известна из предыдущих исследований.

.

Например, предположим, что руководитель туристического агентства задался целью узнать средние годовые расходы рыболовов на питание и проживание во время их походов. При помощи простой случайной выборки нужно оценить среднегодовые расходы этих рыбо­ловов, пользуясь списком лиц, получивших в течение года рыболовные лицензии. При этом заказчик хочет, чтобы оценка находилась в интервале ± $ 25 от истинного генерального значения. Таким образом, общая точность будет составлять $ 50, а по­ловинная точность, которую будем обозначать Н, составит $ 25. Нужно определиться с доверительным уров­нем результата. Пусть доверительный уровень того, что построенный интервал будет со­держать в себе генеральное среднее, примем равным 95 %. При этом t_x^- равно примерно 2. Предположим, что определенная прежде дисперсия генеральной совокупности равна $100. Тогда .

Таким образом, для оценки среднего уровня расходов при среднеквадратическом отклонении $100 и заданной точности плюс или минус $25 достаточно взять сравнительно небольшую выборку (64 рыболова).

Другой способ решения проблемы оценки заключается в построении номограммы уравнения и считывания с нее потребного объема выборки. Номограммы, которые, по сути, являются графическим решением уравнения, для наиболее часто используемых случаев специально разработаны и используются без предварительных расчетов.

Теперь посмотрим, что произойдет, если увеличить точность исследования в 2 раза: общая ширина требуемого интервала будет равняться $25, половина его или Н, соответственно, $12,5.

, те же данные получают и из номограммы. Т.е. для увеличения точности в 2 раза объем выборки должен быть увеличен в 4 раза.

Приведенное соотношение выражает зависимость точности и объема выборки. При увеличении точности в с раз, объем выборки возрастает в с² раз. Например, если бы заданная точность оценки должна была бы вырасти в 5 раз (с=5), то объем выборки увеличился бы с 64 до 1600 (с²=25).Увеличение доверительного интервала также приводит к увеличению объема выборки, а значит к удорожанию исследований. Например, задаем не 95, а 99% доверительный интервал, тогда при Н=25, а =100, получаем , (t_c в данном случае при 99% равен 3).Таким образом, при увеличении t_c в d раз (в нашем примере d=3/2), объем выборки увеличивается в d² раз (в нашем случае d² = 9/4). При всех вычислениях необходимо помнить о стоимости, связанной с увеличением точности и достоверности результатов.

Рассмотрим случай, когда генеральная дисперсия неизвестна.

Более типичным случаем является ситуация, когда генеральная дисперсия неизвестна. Однако, процедура оценки объема выборки остается практически неизменной, просто вместо известного значения дисперсии использоваться будет оценочное значение генеральной дисперсии . Еще одна возможность заключается в учете того обстоятельства, что для величины с нормальным распределением область изменения примерно равна плюс-минус трем среднеквадратическим отклонениям. Таким образом, если можно определить область изменения, то можно путем деления на 6 определить и среднеквадратическое отклонение. Даже небольшой запас априорной информации может позволить определить область изменения. Ошибочная оценка скажется на точности доверительного интервала, которая может измениться и в большую, и в меньшую сторону.

Обратимся к примеру, некоторое число рыболовов не расходует на питание и проживание никаких средств, т.к. выезжают только на день. Другие совершают несколько недельных поездок в год. Предположим, что 15 дней в году – это типичный верхний предел пребывания на рыбалке. При этом ежедневные расходы составляют около $30 долларов в неделю, т.е. верхний денежный предел равен $450. область изменения этой величины также равна $450 (т.к. потратить меньше $0 невозможно) и расчетное среднеквадратическое отклонение составляет 450/6=75. При заданной точности  $25 и 95% доверительном интервале объем выборки составит: . Таким образом, отобранная выборка будет содержать 36 элементов. Предположим, что произведенные наблюдения дадут выборочное среднее =35 и среднеквадратическое выборочное отклонение =60. Тогда доверительный интервал определяется: , или 15   55. В результате получили следующее: заданная точность составляла  $25; полученная точность равна  $20, т.е. интервал оказался уже, чем планировалось (выигрыш), т.к. выбранная оценка генерального среднеквадратического отклонения по выборочному была завышенной. Если бы эта оценка была заниженной, доверительный интервал оказался бы шире заданного.

При проведении исследования редко анализируется только один параметр. Обычно исследования носят комплексный многоцелевой характер. Приведем пояснения в виде примера. Предположим, что необходимо определить также годовые расходы рыболовов на снасти и снаряжение и расстояние, которое они преодолевают за время рыбалок. Теперь необходимо определить уже три величины. Допустим, каждая из них тоже должна иметь 95% доверительный уровень; потребную абсолютную точность и среднеквадратическое отклонение сведем в таблицу с расчетными значениями объемов выборок, рассчитанных по формуле.

	Показатель
	Расходы на питание и проживание	Расходы на снасти и снаряжение	Пройденное расстояние
Доверительный уровень	95% (tc =2)	95% (tc =2)	95%(tc=2)
Заданная точность	 25	 10	 100
Среднеквадратическое отклонение	 75	 20	 500
Потребный объем выборки	36	16	100

Для каждой из трех оцениваемых величин получим свое значение объема выборки. В зависимости от величины объем выборки n должен быть равным 36, 16 или 100. Необходимо определенным образом согласовать эти три значения, так чтобы принятый объем выборки отвечал сразу всем поставленным задачам. При консервативном подходе необходимо выбирать самое большое значение n=100. Этим гарантируется нужная точность оценки каждой величины при условии, что оценки среднеквадратических отклонений были корректны. Теперь рассмотрим ситуацию, когда наименее критичной их трех оцениваемых величин будет расстояние, проходимое рыболовами. Этим можно снизить расходы на исследование, используя выборку меньшего объема. Оптимальный подход в подобных ситуациях состоит в выделении наиболее критичных величин и в соответствии заданной точности и достоверности определения объема их выборки. Величины, оценка которых требует большего объема выборки, в этом случае будут оцениваться с меньшей точностью или достоверностью, чем планировалось. Предположим, что наиболее критичным показателем является уровень расходов, и остановимся на значении объема выборки 36. Предположим также, что эта выборка (состоящая из 36 рыбаков) дает выборочное среднее 300 км и выборочное отклонение =500 км. В данном случае результат выборки согласуется с первичной оценкой генерального среднеквадратического отклонения и, соответственно, неточность никак не сказывается на доверительном интервале.

или 133,3   466,7. В то время как заданная точность составляла  100 км, полученная точность равна  166,7 км. Для получения необходимой точности оценки доверительный уровень следует сделать меньше нынешнего 95% уровня.