Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами
Сложение и вычитание. В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.
При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая. Рассмотрим их.
Случай 1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
Получен правильный результат.
Случай 2. А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А.
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
+ 3 + 0 0 0 0 0 0 1 1
- 10 1 1 1 1 0 1 0 1
- 7 1 1 1 1 1 0 0 0
Обратный код числа -10
Обратный код числа -7
Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -7]0.
Случай 3. А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
Обратный код числа -3
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
Случай 4. А и В отрицательные.
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
Обратный
код числа -3
Обратный код числа -7 Обратный код числа -10
Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа —10|0) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -1010.
При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.
Случай 5. А и В положительные, сумма А и В больше либо равна 2n-1, где п — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата п = 8, 2n-1 = 27 = 128).
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
Переполнение
Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162]0= 10100010), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.
Случай 6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше либо равна 2n-1.
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
Обратный код числа —63
Обратный код числа - 95
Переполнение
Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.
Все рассмотренные случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел.
Случай 1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.
Случай 2. А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А.
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
+ 3 + 0 0 0 0 0 0 1 1
- 10 1 1 1 1 0 1 0 1
- 7 1 1 1 1 1 0 0 0
Дополнительный код числа —10
Дополнительный код числа —7
Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица:
1 0000110 + 1= 1 0000111 = - 710-
Случай 3. А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
Дополнительный код числа -3
перенос отбрасывается
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
Случай 4. А и В отрицательные.
Пример.
Десятичная запись: Двоичные коды:
+ - 3 + 1 1 1 1 1 1 0 1 Дополнительный код числа -3
- 7 1 1 1 1 1 0 0 1 Дополнительный код числа -7
- 10 1 1 1 1 0 1 1 0 Дополнительный код числа -10 перенос отбрасывается
Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает: на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду; время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.
Умножение и деление. Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число «нуль». В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.
Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.
Умножим 1100112 на 1011012.
Пример.
Накапливающий сумматор: Множитель:
+ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 101101
1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1 101100
+ 1 1 0 0 1 1 Сдвиг на две позиции влево
1 1 1 1 1 1 1 1 101000
+ 1 1 0 0 1 1 Сдвиг на одну позицию влево
1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 100000
+ 1 1 0 0 1 1 Сдвиг на две позиции влево
1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 000000
Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.