1. Модальное управление

1.1. Теоретические основы модального управления

Поведение в системе автоматического управления определяется корнями характеристического уравнения, которым, в свою очередь, соответствуют составляющие свободного движения системы, называемые «модами». Модальное управление – это такое управление, когда достигается требуемый характер переходных процессов за счет обеспечения необходимого расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости. При этом задача сводится к определению коэффициентов соответствующих обратных связей по состоянию объекта, а не путем применения корректирующих звеньев в прямой цепи САУ.

Это управление применяется тогда, когда все составляющие вектора состояния объекта управления доступны непосредственному измерению (полная управляемость). Для линейных динамических систем корни замкнутой системы можно смещать в любые желаемые положения при законе управления в виде линейной функции переменных состояния. Эта же задача может быть решена и при использовании в законе управления лишь части переменных состояния (неполная управляемость), если для управления использовать не один, а несколько входов объекта, когда используется подача внешних воздействий в нескольких различных точках.

Следует заметить, что термин “объект управления” следует воспринимать в более широком смысле, чем это принято в классической теории автоматического управления. Сюда следует относить исполнительные и рабочие органы, предшествующие им усилители и преобразователи, принимая их выходные сигналы в качестве составляющих выходного вектора объекта.

Расчет и конструирование модальных регуляторов проводится в следующей последовательности. Пусть полностью управляемый и наблюдаемый объект описывается следующими уравнениями в векторно-матричной форме:

(1.1)

где X – n-мерный вектор переменных состояния объекта (n – порядок объекта); Y и U – векторы выходной переменной и управления; A, B и C – матрицы соответственно коэффициентов характеристического уравнения, управления и наблюдения.

Сформируем обратную связь следующим образом:

U=K(G – LX), (1.2)

где G – вектор задающих сигналов; K – матрица коэффициентов усиления промежуточного регулятора (усилителя); L – матрица коэффициентов обратных связей.

Тогда обобщая уравнения замкнутой системы (1.1) и (1.2) получаем

(1.3)

или в виде

(1.4)

где F=A – BKL.

Характеристическое уравнение полученной замкнутой системы определяется следующим образом:

D(p)=det , (1.5)

где I – единичная матрица размерности

Поскольку собственные числа матрицы однозначно определяют коэффициенты характеристического полинома, задача может быть сформулирована следующим образом: для управляемой системы (1.1) с характеристическим полиномом найти вектор L коэффициентов обратных связей и предварительный коэффициент усиления K, чтобы замкнутая система (1.4) имела желаемую стандартную форму характеристического полинома (1.5) с заданными коэффициентами l_i.

Процедура расчета коэффициентов l₁, ..., l_n проводится в следующей последовательности:

• выбираем желаемое распределение корней характеристического уравнения, то есть выбираем желаемую стандартную форму характеристического полинома замкнутой системы. С целью сокращения объема вычислений для случаев объектов высокого порядка целесообразно применить описание объекта в канонической управляемой форме Фробениуса;

• находим характеристический полином с помощью формулы (1.5);

• коэффициенты этого полинома будут зависеть от неизвестных пока параметров l_i и коэффициента усиления промежуточного усилителя K;

• приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p полиномов, полученных на первом и втором шагах, получаем систему уравнений для определения неизвестных параметров l_i. Решив ее при известных остальных параметрах системы (матрицы А,B,С), находим искомые параметры модального регулятора (элементы матрицы L). При этом К промежуточного усилителя находится из условия получения требуемых переменных состояния в установившемся режиме, т.е. .

Наиболее распространенными из стандартных форм характеристического полинома являются: фильтр Чебышева, распределение Бесселя, распределение Баттерворта, биномиальное распределение, когда при порядке системы n берется характеристический полином в следующем виде:

D(p)=(p+)ⁿ = 0, (1.6)

где  – среднегеометрический корень.

Распределение характеризуется наличием n кратных действительных и отрицательных корней, количественно равных среднегеометрическому корню. Характеристические уравнения для этого распределения имеют вид, представленный в таблице1.1.

Таблица 1.1

Порядок системы	Время регулирования, tp	Характеристическое уравнение
1	3/ω	D(p) = p + ω
2	4,5/ω	D(p) = p2 + 2ω p + ω2
3	6/ω	D(p) = p3 + 3ω p2 + 3ω2 p + ω3
4	7,6/ω	D(p) = p4 + 4ω p3 + 6ω2 p2 + 4ω3 p + ω4

Значения коэффициентов характеристического уравнения D(p) в зависимости от порядка системы в распределении Баттерворта сведены в таблицу 1.2.

Таблица 1.2

Порядок системы	Перерег. %	Время рег. tp	Характеристическое уравнение
1	0	3/	D(p)=p+
2	4,3	3/	D(p)=p2+1.4p+2
3	8	6/	D(p)=p3+2p2+22p+3
4	11	6,8/	D(p)=p4+2.6p3+3.42p2+2.63p+4

При этом во всех случаях значение  выбирают исходя из требуемого быстродействия и перерегулирования системы с учетом ограничений на управление и переменные состояния.