1.4.2. Статистические характеристики эпр системы элементарных отражателей

Как видно, даже в самой простейшей задаче приходится c неизбежностью сталкиваться со статистическим подходом к расчету ЗПР. Остановимся на этом вопросе подробнее.

Рассмотрим систему из большого числа случайно расположенных отражателей. При этом допустимо наличие среди отражателей одного или нескольких, которые при отражении дают стабильный неслучайный сигнал. Последнее означает, что отраженные от них сигналы представляют собой гармонические колебания с постоянными амплитудами, которые после сложения вновь дадут синусоидальное колебание той же частоты с постоянной амплитудой. Это значит, что совокупность таких отражателей можно заменить одним и считать для определенности, что фаза отраженной от него волны имеет нулевое значение, а амплитуда |E₀| т.е.

Это позволяет записать электрический вектор от -го случайного отражателя в виде: , где как амплитуда /Е_n /, так и фаза У_n представляют собой случайные функции времени. Таким образом, суммарное отраженное поле будет:

Представим выражение, стоящее в скобках равенства (1.49), в алгебраической форме

Для каждого фиксированного момента времени выражения, стоящие под знаком Σ , можно интерпретировать как сумму очень большого числа независимых слагаемых; вклад каждого из которых в общую сумму пренебрежимо мал. В соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей это означает, что мгновенные значения случайных величин

имеют в качестве закона распределения Гауссовский закон, по свойству которого сумма неслучайного сигнала и случайного Е_z1также будет иметь это же распределение.

Если перемножить действительную и мнимую части представления (1.50) и выполнить статистические усреднения, а затем вычесть произ­ведение их математических ожиданий, то в силу допущенной независимости между собой всех и , а также всех пар легко увидеть, что в результате выкладок получится нуль. Так как названная операция представляла собой вычисление взаимокорреляционной функции и она оказалась равной нулю, то для Гауссовского закона это означает статистическую независимость действительной и мни­мой части правой части равенства (1.50). Таким образом, двумерный закон распределения двух случайных величин X и Y :

каждая из которых является Гауссовской будет представлять собой произведение соответствующих одномерных, т.е.

где дисперсия в соответствии с определением будет равна:

которая, в свою очередь, будет равна величине (черта сверху означает операцию статистического усреднения).

Так как значение ЭПР связано не с мгновенными значениями электрического вектора, а с его амплитудой, то в формуле (I.5I) целесообразно сделать переход к полярным координатам которых радиус-вектор и представляет собой искомую амплитуду:

Сделав замену переменных (1.52) и вычислив якобиан перехода, который оказывается равным Е, вместо закона (I.5I), получим:

Для того, чтобы найти интересующий нас одномерный закон распределения случайной величины |Е|, надо проинтегрировать равенство (1.53) по переменной , Выполнив интегрирование, получим:

Входящая в равенство (1.54) функция представляет собой табулированную модифицированную функцию Бесселя. Для дальнейшего важно знать, что и, что при справедлива формула

Функция распределения (1.54) называется обобщенным законом Релея или законом Рейса.

Для практического использования удобно ввести безразмерные величины . С учетом правил перехода получим:

Что касается закона распределения случайной величины γ , то ее мокко найти, выполнив интегрирование закона (1.53) по переменной |Е|,

где -интеграл вероятности.

Важным для практики является случай отсутствия элементов, дающих устойчивое отражение, что соответствует а= 0. С учетом этого получаем:

который носит название закона Релея, и

носящий название равномерного.

На рис. 1.24 изображены кривые распределений (1.55) и (1.56).

Рис. 1.24. Законы распределения амплитуды (а) и фазы (б) отраженных сигналов

По мере роста а закон нормализуется, а фаза все больше группируется около фазы стабильной составляющей. Среднее значение вели­чины .вычисленное по формуле (1.55) дает , т.е. |Е| , а дисперсия , т.е. Для нахождения закона распределения ЭПР поступим следующим об­разом. Тек как ЭПР пропорциональна , то можно записать для ЭПР всей цели , для ЭПР стабильной части А о . Для среднего значения ЭПР случайной части где - коэф­фициент пропорциональности. Воспользовавшись известным тождеством , из равенства (1.54) найдем:

При отсутствии стабильного элемента формула (1.57) преобразуется в экспоненциальный закон:

Среднее значение в этом случав будет равно Аср , а дисперсия -

Таким образом, ЭПР множества случайных независимых отражателей распределяется по экспоненциальному закону. При наличии большого стабильного компонента происходит нормализация распределения ЭПР.

Среднее значение ЭПР можно получить путем ее усреднения при из­мерениях с различных направлений. В табл. I приведены средние знач ения ЭПР для различных типов воздушных целей.

Таблица 1