Операции над мощностями
Мощности конечных множеств - натуральные числа, и их можно складывать, умножать, возводить в степень. Эти операции можно обобщить и на мощности бесконечных множеств, и делается это так.
Пусть
и
-
два множества. Чтобы сложить их мощности,
надо взять мощность множества
,
если
и
не
пересекаются. Если они пересекаются,
то их надо заменить на непересекающиеся
равномощные им множества
и
.
Мощность объединения и будет суммой
мощностей множеств
и
.
Множества
и
можно
выбрать следующим образом: положим
и
.
Произведение
мощностей – мощность декартова
произведения
Возведение в
степень. Рассмотрим (для данных
и
)
множество всех функций вида
(
их область определения есть
,
а область значений содержится в
).
Это множество обозначается
,
и его мощность и будет результатом
операции возведения в степень.
Если множества
и
конечны
и содержат
и
элементов
соответственно, то
содержит
как раз
элементов.
В самом деле, определяя функцию
,
мы должны определить ее значение на
каждом из
элементов.
Это можно сделать
способами,
так что получаем всего
вариантов.
Пример.
Обозначим
через
множество из двух элементов, например,
.
по определению это множество функций
.
Такие функции - это последовательности
нулей и единиц, только вместо
пишем
Свойства сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) сохраняют силу и для арифметики мощностей:
Формально
их следует читать, избегая слова "
мощность" как самостоятельного
объекта: например,
означает,
что
и
равномощны
(и это легко проверить:
будет
взаимно однозначным соответствием
между ними).
Свойства, включающие возведение в степень:
Проверим
первое из них. Элементами
(
и
не
пересекаются) являются функции со
значениями в
,
определенные на
.
Такая функция состоит из двух частей:
своего сужения на
(значения
на аргументах из
остаются
теми же, остальные отбрасываются) и
своего сужения на
.
Тем самым для каждого элемента множества
получаем пару элементов из
и
.
Это и будет искомое взаимно однозначное
соответствие.
Мощность
счетного множества символически
обозначается
мощность континуума (отрезка или
множества бесконечных последовательностей
нулей и единиц) обозначается
.
По определению,
.
(Обычно
обозначает наименьшую несчетную
мощность. Гипотеза континуума утверждает,
что
.)
Известные свойства счетных множеств можно записать следующим образом:
для
конечного
(объединение
счетного и конечного множеств счетно);
(объединение
двух счетных множеств счетно);
(объединение
счетного числа счетных множеств счетно).
Отсюда можно формально получить многие факты манипуляциями с мощностями.
Пример
1) цепочка равенств
показывает, что прямая и плоскость равномощны.
Аналогично,
2)
3)
4)
.
5) Приведенные свойства мощностей полезно сочетать с теоремой Кантора- Бернштейна. Например
поэтому
(множество
всех бесконечных последовательностей
натуральных чисел имеет мощность
континуума).