Варианты сведения нелинейной регрессии к линейной.
Оценка параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции.
Линейная
регрессия находит широкое применение
в эконометрике ввиду четкой экономической
интерпретации ее параметров. Линейная
регрессия сводится к нахождению
уравнения вида
или
.
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора x.
Построение
линейной регрессии сводится к оценке
ее параметров – a и b. Классический
подход к оцениванию параметров линейной
регрессии основан на методе наименьших
квадратов (МНК). МНК позволяет получить
такие оценки параметров a и b, при которых
сумма квадратов отклонений фактических
значений результативного признака y
от теоретических
минимальна:
Чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю.
Обозначим
через
S(a,b):
,
тогда
После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров a и b:
Решая систему уравнений, найдем искомые оценки параметров a и b:
,
,
где
.
Так
как
,
то
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Он имеет смысл показателя силы связи между вариацией x и вариацией y. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
Коэффициент a может не иметь экономического содержания, интерпретировать можно только знак, он показывает направления связи.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy, который можно рассчитать по следующим формулам:
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: -1≤rxy≤1. Чем ближе он по модулю к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» - прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.
Для
оценки качества подбора линейной
функции рассчитывается квадрат линейного
коэффициента корреляции
,
называемый коэффициентом детерминации.
Коэффициент детерминации показывает
сколько процентов приходится на долю
учтенных в модели факторов:
Соответственно
величина
характеризует
долю дисперсии y, вызванную влиянием
остальных, не учтенных в модели, факторов.
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: mb, ma и mr.
Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:
Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при n-2 степенях свободы применяется для проверки значимости коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.
Для оценки значимости коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента:
,
причем
,
причем
,
т.е.
которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости a и числе степеней свободы n-2.
Если tфакт>tтабл, то делается вывод о значимости параметра.