§ 5.5. Задачи с решениями на сложное движение точки

Задача 5.1. Пластина в форме прямоугольного треугольника ОАВ вращается вокруг вертикальной оси по закону (см.рис. 1 к примеру 5.1) (рад).

Положительное направление отсчета угла соответствует вращению пластины против часовой стрелки, если наблюдать с положительного конца оси . По гипотенузе от вершины треугольника к вершине движется точка по закону (м). В момент времени точка находится в вершине треугольника . Найти абсолютную скорость и ускорение точки М, в момент времени секунды, если катеты треугольника , .

Решение. Неподвижная система координат показана на рис.1 к примеру 5.1. С вращающейся пластиной жестко совместим подвижную систему координат , ось которой направлена по гипотенузе АВ от вершины А к вершине В. По условию задачи траектория точки М - прямая линия. При вращении пластины эта система координат будет вращаться вместе с ней.

Движение точки М в подвижной системе координат , то есть движение точки по пластине - это относительное движение точки М. Движение точки вместе с пластиной – это переносное её движение.

1. Определение положения точки в пространстве в момент времени с. Из закона переносного движения при с получим рад. Будем считать, что показанное на рисунке 2 положение пластины соответствует этому углу. Другими словами, к моменту времени с пластина сделала 1,5 оборота вокруг оси вращения . Так как точка движется по гипотенузе по закону , то при с получим м.

Другими словами, пока пластина поворачивалась на рад , точка М прошла по гипотенузе АВ расстояние м. Длина гипотенузы м. Положение точки на гипотенузе в момент времени с показано на рис.2 к примеру.

2. Исследование относительного движения токи М. В относительном движении точка М совершает прямолинейное движение по гипотенузе АВ. Пользуясь формулами для определения алгебраических значений скоростей и ускорений точек при естественном способе задания движения, будем иметь:

= .

В общем случае вектор относительного ускорения точки равен сумме касательной и нормальной составляющих . В данном случае траектория относительного движения - прямая (гипотенуза). Поэтому

,

, так как радиус кривизны (траектория относительного движения – гипотенуза АВ). Следовательно, . При получим:

,

.

Вычисления показали, что в момент времени точка совершает замедленное движение ( ). Вектор относительной скорости направлен по касательной к траектории (следовательно, по гипотенузе ) от точки М к вершине В, а вектор направлен в обратную сторону (см. рис.2 к примеру).

3. Исследование переносного движения точки. Переносным движением для точки М является вращение треугольника относительно неподвижной оси. Мысленно удалим движущуюся точку М с треугольника и рассмотрим кинематику точки пластины , в которой находится движущаяся точка М в момент времени . Воспользуемся теорией вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение вычисляются по формулам:

, .

Линейные скорость и ускорения вычисляются по формулам:

, , ,

, ,

.

При : , . ,

.

Чтобы облегчить пространственное восприятие векторов, в точке , совпадающей в данный момент времени с точкой пластины, введем систему координат с осями параллельными осям исходной системы координат . Векторы , , лежат в плоскости , перпендикулярной к оси вращения . Алгебраическая величина - положительна. Поэтому вектор , будучи направлен по касательной к траектории переносного движения точки, – перпендикулярен к плоскости пластины и к радиусу траектории , то есть направлен по оси , параллельной оси . Направлен он в направлении вращения пластины.

Так как знаки , совпадают, то вектор направлен так же, как и вектор . Вектор направлен к оси вращения пластины по оси . Указанные векторы показаны на рис. 3 к задаче.