§ 1.6. Естественный способ задания движения точки

Если траектория движения точки известна, то движение по траектории можно определить и « естественным» способом.

1.23. Чтобы задать движение точки естественным способом необходимо произвести следующие действия:

1) На траектории точки выбрать начало координат о1 и ввести криволинейную систему координат о1s так, чтобы ось о1s полностью совпала с траекторией.

2) Задать уравнение движения точки М по траектории в виде функции s = s(t) (рис.1.8). Функция s = s(t) в каждый момент времени определяет криволинейную координату точки на известной траектории.

Алгебраическое значение скорости (понятие вводится при естественном способе задания движения)

Когда движение задано естественным способом, вектор скорости точки и вектор ускорения точки М и их величины вычисляются по проекциям этих векторов на оси естественного трехгранника Мnb, имеющего начало в точке М и движущегося вместе с ней. На рисунках 1.8, 1.9 в движущейся точке показаны три ортогональных единичных вектора , соответствующих трем осям естественного (его еще называют сопровождающего) трехгранника. Естественными координатными осями называются: ось М , направленая по касательной к кривой в точке М в сторону возрастания координаты s; ось Мn (главная нормаль), направленная по линии пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей, в сторону вогнутости траектории; ось Мb, направленная по линии пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей так, что оси М, Мn, Мb образует правую тройку осей координат в точке М. Более подробно об этих осях и соответствующих плоскостях можно прочитать в геометрии в разделе «Пространственные кривые»

1.24. Вектор скорости точки М направлен по касательной к траектории. Поэтому в осях естественного трехгранника Мnb вектор скорости определяется лишь одной проекцией , называемой алгебраическим значением вектора скорости ( ).

1.25. Алгебраическое значение скорости точки в данный момент времени равно первой производной по времени от функции s(t).

(1.51)

По знаку алгебраического значения скорости легко судить о направлении движения точки по траектории. Знак зависит только от знака , так как всегда.

1.26. Если в данный момент времени алгебраическое значение скорости v > 0, вектор скорости направлен в положительном направлении оси s и сама точка движется в этом (положительном) направлении (как на рис.1.9).

1.27. Если в данный момент времени алгебраическое значение скорости v < 0, вектор скорости направлен в отрицательном направлении оси s и сама точка движется в отрицательном направлении.

Ускорения при естественном способе задания движения

Как было уже сказано при обсуждении векторного способа задания движения, вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости. Это означает, что в осях естественного трехгранника Мnb вектор ускорения расположен в координатной плоскости Мn, перпендикулярной к оси Мb (см. рис. 1.13). Поэтому вектор ускорения точки (говорят, вектор полного ускорения точки) может в общем случае проецироваться только на оси М, Мn, а проекция на бинормаль . Если движение точки про­исходит в плоскости, то траекторией точки будет плоская кривая, лежащая в этой плоскости, которая и будет сопри­ка­са­ющейся плоскостью, одной и той же во всех точках траектории.

Итак, вектор полного ускорения точки М при естественном способе задания движения представляется следующим образом (рис.1.9):

(1.52)

Векторы называются касательной и нормальной составляющими вектора полного ускорения . Алгебраические величины а_, а_n – это касательная и нормальная проекции вектора полного ускорения (часто а_, а_n называют касательным и нормальным ускорениями точки, не забывая, что речь идет фактически о проекциях вектора полного ускорения ). Они вычисляются по формулам:

(1.53)

где алгебраическое значение скорости v определяется при известном законе движения по формуле (1.51), а ρ – радиус кривизны траектории в точке М. Из (1.53) видим, что проекция вектора полного ускорения на ось Мn (нормальное ускорение точки) всегда положительна. Следовательно, вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны траектории в точке М, как показано на рис.1.9. Касательное ускорение точки может быть положительным, отрицательным и равным нулю, как производная от функции Следовательно, направление самого вектора может совпадать с направлением вектора скорости (как на рисунке 1.9), или не совпадать с направлением вектора скорости . В первом случае движение точки М будет ускоренным (модуль вектора скорости увеличивается – говорят, скорость растет), во втором случае – замедленным (модуль вектора скорости уменьшается – говорят, скорость уменьшается).