4.5. Теорема Эйлера. Всякое движение твердого тела с одной неподвижной точкой – это последовательность элементарных поворотов тела относительно мгновенных осей вращения.

Понятие о мгновенной оси вращения введено Аламбером в 1749г и Эйлером в 1750г.

Пример 4.1. В качестве примера существования мгновенной оси вращения можно привести случай качения без скольжения кругового конуса с неподвижной вершиной по горизонтальной неподвижной плоскости (см. рис. к примеру). Очевидно, что точки конуса, касающиеся по прямой плоскости, имеют линейные скорости равные нулю. Следовательно, эта образующая конуса в этот момент времени является мгновенной осью вращения .

Скорость изменения вектора угловой скорости характеризуется вектором углового ускорения .

. (4.3)

Чтобы определить направление вектора вспомним формулу (1.13) для вектора линейной скорости точки.

(1.13)

Было установлено, что вектор скорости направлен по касательной к годографу радиуса-вектора точки. Поскольку между формулами (4.3) и (1.13) существует полная математическая аналогия, можно утверждать, что

4.6. Вектор углового ускорения направлен по касательной к годографу вектора угловой скорости , как показано на рис.4.3.

На практике вектор углового ускорения принято параллельно самому себе переносить и прикладывать в неподвижной точке , как показано на рис. 4.4. Итак, кинематические характеристики сферического движения твердого тела – закон движения (4.1), вектор мгновенной угловой скорости (4.2) и вектор мгновенного углового ускорения (4.3) определены. Переходим к определению движения отдельных точек тела.

Замечание. Годограф радиус-вектора точки имеет механический смысл – это траектория точки, годограф вектора механического смысла не имеет, это просто пространственная кривая, которую описывает конец вектора .

§ 4.2. Скорости и ускорения точек тела при сферическом движении

1. Вектор скорости. Зная вектор мгновенной угловой скорости можно определить вектор линейной скорости любой точки тела. По теореме Эйлера и формуле (2.21) для вектора скорости точки можно записать (см. рис. 4.4):

, (4.4)

где - радиус – вектор точки. Эта формула носит название формулы Эйлера. Вектор имеет постоянную длину (т.к. тела абсолютно твердые), но переменное направление. Вектор может менять с течением времени и длину, и направление. Вектор скорости точки направлен по касательной к траектории точки перпендикулярно к плоскости , проходящей через радиус – вектор точки и вектор мгновенной угловой скорости в ту сторону, куда в данный момент поворачивается тело, то есть по направлению дуговой стрелке . При этом (рис.4.4). Или

(4.5)

Пример 4.2. Коническое зубчатое колесо 1, насаженное с помощью шарикового подшипника на кривошип , катится по неподвижному коническому зубчатому колесу 2 (рис. а) к примеру 4.2). Угловая скорость кривошипа , вращающегося относительно неподвижной оси , известна и равна . Определить скорости точек , лежащих на диаметральном сечении колеса 1, проходящем через ось кривошипа перпендикулярно к неподвижной плоскости. Геометрические размеры механизма считать известными.

Решение. Колесо 1 совершает сферическое движение относительно точки с некоторой угловой скоростью . В начальный момент времени в точке введем неподвижную систему координат и подвижную систему координат . Как и прежде подвижную ось направим по оси вращения тела, совершающего

сферическое движение, то есть по оси собственного вращения зубчатого колеса 2 (рис. а) к примеру 4.2). Лини узлов в начальный момент времени совпадает с осями и , а в процессе движения она будет над или под подвижной осью . На рис. в) к примеру 4.2 для произвольного момента времени показано положение осей при наблюдении с положительного конца оси . На рис. г) к примеру 4.2 показано для произвольного момента времени положение осей координат при наблюдении с положительного конца оси . Видим, что углы и меняются. Угол . Модули соответствующих угловых скоростей , , . По (4.2) имеем . В этом равенстве полностью известен вектор и известно направление векторов . При этом направлен по мгновенной оси вращения ( , так как это точка касания подвижного колеса с неподвижным. Рис б). Тогда из прямоугольника векторов угловых скоростей находим . По теореме Эйлера имеем или , что совпадает с предыдущим результатом. Точка находится от мгновенной оси на расстоянии . Следовательно, . Ответ: , , .

2. Векторы ускорения точек тела при сферическом движении. Зная вектор мгновенного углового ускорения можно определить линейные ускорения любой точки тела.