2.3 Моделирование сезонных и циклических колебаний

Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между пе­ременными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.

Временной ряд - ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.

Каждый временной ряд складывается из следую­щих основных компонентов:

1) Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом .

2) Циклической или периодической компоненты, ха­рактеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Например: значения макроэкономиче­ских показателей зависят от того, в какой фазе бизнес-цикла находится экономика. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям .

3) Случайной компоненты, которая является результа­том воздействия множества случайных факторов .

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих компонент: .

В зависимости от взаимосвязи между этими компо­нентами может быть построена либо аддитивная модель: , либо мультипликативная модель: ряда динамики.

Пусть нам даны поквартальные данные об объеме вы­пуска некоторого товара некоторой фирмой - Y (усл.ед.) за 3 года:

Таблица 4 – Исходные данные об объеме вы­пуска товара фирмой

2010				2011				2012
1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900

График данного временного ряда (рисунок 17) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен 4) и общей возрастающей тенденции уровней ряда. Объем выпускаемой продукции в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна, можно предположить существование аддитивной модели.

Рисунок 18 – Объем выпуска товаров формой

Автокорреляция - корреляционная связь между после­довательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг).

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если , то имеем коэффициент ав­токорреляции 1-ого порядка , если , то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значе­ний, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции рав­ный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг , при котором автокорреляция наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение , то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом k. Если ни один из коэффициентов автокорреляции k не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

- либо ряд не содержит тенденции и циклических ко­лебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функци­ей временного ряда. График зависимости значений коэффи­циентов автокорреляции от величины лага (порядка коэф­фициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокор­реляции.

Определим коэффициент автокорреляции 1-го порядка, используя формулу линейного коэффициента корреляции.

,

где

; ,

,

,

Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка приведены в таблице 5.

Таблица 5 - Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка.

t	Yt	Yt-1	Yt - Yt	Yt-1 - Yt-1	(Yt -Yt)2	(Yt-1 – Yt-1)2	( Yt - Yt)(Yt-1-Yt-1)
1	410	-	-	-	-	-	-
2	560	410	-206,82	-312,27	42773,76	97514,26	64583,678
3	715	560	-51,818	-162,27	2685,124	26332,44	8408,678
4	500	715	-266,82	-7,27	71191,942	52,89	1940,496
5	520	500	-246,82	-222,27	60919,215	49405,17	54860,950
6	740	520	-26,818	-202,27	719,21488	40914,26	5424,587
7	975	740	208,18	17,73	43339,669	314,26	3690,496
8	670	975	-96,818	252,73	9373,7603	63871,07	-24468,595
9	705	670	-61,818	-52,27	3821,49	2732,44	3231,405
10	950	705	183,18	-17,27	33555,579	298,35	-3164,050
11	1200	950	433,18	227,73	187646,49	51859,71	98647,314
12	900	1200	133,18	477,73	17737,397	228223,35	63624,587
Сумма	8435	7945	х	х	473763,64	561518,18	276779,545
Среднее	766,82	722,27

Таким образом, ,

Далее определим коэффициент автокорреляции второго порядка по формуле:

,

где

; ,

,

,

Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго порядка приведены в таблице 6.

Таблица 6 - Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго порядка.

t	Yt	Yt-2	Yt - Yt	Yt-2 - Yt-2	(Yt -Yt)2	(Yt-2 – Yt-2)2	( Yt - Yt)(Yt-2-Yt-2)
1	410	-	-	-	-	-	-
2	560	-	-	-	-	-	-
3	715	410	-72,5	-264,5	5256,25	69960,25	19176,25
4	500	560	-287,5	-114,5	82656,3	13110,25	32918,75
5	520	715	-267,5	40,5	71556,3	1640,25	-10833,75
6	740	500	-47,5	-174,5	2256,25	30450,25	8288,75
7	975	520	187,5	-154,5	35156,3	23870,25	-28968,75
8	670	740	-117,5	65,5	13806,3	4290,25	-7696,25
9	705	975	-82,5	300,5	6806,25	90300,25	-24791,25
10	950	670	162,5	-4,5	26406,3	20,25	-731,25
11	1200	705	412,5	30,5	170156	930,25	12581,25
12	900	950	112,5	275,5	12656,3	75900,25	30993,75
Сумма	7875	6745	х	х	426713	310472,5	30937,5
Среднее	787,5	674,5

Таким образом, .

Аналогично вычисляются коэффициенты автокорреляции третьего, четвертого и т.д. порядка. Результаты расчетов и коррелограмма представлены в таблице 7.

Таблица 7 – Автокорреляционная функция и коррелограмма временного ряда объема вы­пуска товара фирмой

Лаг(порядок) - L	Коэффициенты автокорреляции	Коррелограмма
1	0,537	*****
2	0,085	*
3	0,599	******
4	0,990	*********
5	0,154	**

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания.

Построение аддитивной модели временного ряда с сезонными колебаниями.

Обратимся к данным об объеме выпуска товара некоторой фирмой за последние три года, представленным в таблице 4.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (графа 3 таблицы 8);

2. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (графа 4 таблицы 8). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

3. приведем эти значения в соответствие с фактическими момен­тами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (графа 5 таблицы 8).

Таблица 8 - Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели.

t	Yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	410	-	-	-	-
2	560	2185	546,25	-	-
3	715	2295	573,75	560	155
4	500	2475	618,75	596,25	-96,25
5	520	2735	683,75	651,25	-131,25
6	740	2905	726,25	705	35
7	975	3090	772,5	749,375	225,625
8	670	3300	825	798,75	-128,75
9	705	3525	881,25	853,125	-148,125
10	950	3755	938,75	910	40
11	1200	-	-	-	-
12	900				-

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 таблицы 8). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 9). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 9 - Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели.

Показатели	Год	№ квартал, i
		I	II	III	IV
	1	-	-	155	-96,25
	2	-131,25	35	225,63	-128,75
	3	-148,13	40	-	-
Итого за i-й квартал (за все года)		-279,38	75	380,63	-225
С редняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала, Si		-139,69	37,5	190,315	-112,5
Скорректированная сезонная компонента, Si		-133,59	43,59	196,405	-106,41

Для данной модели имеем:

Определим корректирующий коэффициент:

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

где ,

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: ;

II квартал: ;

III квартал: ;

IV квартал: .

Занесем полученные значения в таблицу 10 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (графа 4 таблицы 10). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 10 - Расчет выровненных значений T и ошибок E в аддитивной модели.

t	Yt	Si	T+E= Yt - Si	T	T+S	E= Yt-(T+S)	E2	( Yt - Yt )2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	410	-133,594	534,594	471,658	338,064	71,936	5174,79	106984
2	560	43,594	516,406	519,916	563,51	-3,51	12,3201	31359
3	715	196,406	518,594	568,174	764,58	-49,58	2458,18	488
4	500	-106,406	606,406	616,432	510,026	-10,026	100,521	56209
5	520	-133,594	653,594	664,69	531,096	-11,096	123,121	47125
6	740	43,594	696,406	712,948	756,542	-16,542	273,638	9
7	975	196,406	778,594	761,206	957,612	17,388	302,343	56604
8	670	-106,406	776,406	809,464	703,058	-33,058	1092,83	4500
9	705	-133,594	838,594	857,722	724,128	-19,128	365,88	1029
10	950	43,594	906,406	905,98	949,574	0,426	0,18148	45334
11	1200	196,406	1003,594	954,238	1150,64	49,356	2436,01	214292
12	900	-106,406	1006,406	1002,5	896,09	3,91	15,2881	26542
Итого	8845	-	8845	8844,92	-	-	12355	590473
Среднее значение	737,1

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда (расчеты выполнены с помощью Ms Excel). Результаты аналитического выравнивания следующие:

,

.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни Τ для каждого момента времени (графа 5 таблицы 10). График уравнения тренда приведен на рисунке 19.

Рисунок 19 - Объем выпуска товаров фирмой (фактические, выровненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по адди­тивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезон­ной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения представлены на рисунке 4.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле:

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в графе 7 таблицы 10.

Для оценки качества построенной модели или для выбора наилучшей модели используется ошибка ε.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет общей вариации временного ряда.

Построение мультипликативной модели временного ряда.

Имеются поквартальные данные об объеме выпуска товара фирмой за последние три года, представленные в таблице 4.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда мето­дом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в таблице 11.

Таблица 11 - Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели.

t	Yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	410	-	-	-	-
2	560	2185	546,25	-	-
3	715	2295	573,75	560	1,277
4	500	2475	618,75	596,25	0,839
5	520	2735	683,75	651,25	0,789
6	740	2905	726,25	705	1,050
7	975	3090	772,5	749,375	1,301
8	670	3300	825	798,75	0,839
9	705	3525	881,25	853,125	0,826
10	950	3755	938,75	910	1,044
11	1200	-	-	-	-
12	900				-

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользя­щие средние (графа 6 таблицы 10). Используем эти оценки для расче­та значений сезонной компоненты S (таблица 12). Для этого най­дем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликатив­ной модели выражается в том, что сумма значений сезонной ком­поненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Таблица 12 - Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели	Год	№ квартал, i
		I	II	III	IV
	1	-	-	1,277	0,839
	2	0,798	1,05	1,301	0,839
	3	0,826	1,044	-	-
Итого за i-й квартал (за все года)		1,624	2,094	2,578	1,678
С редняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала, Si		0,812	1,047	1,289	0,839
Скорректированная сезонная компонента, Si		0,814	1,050	1,293	0,842

Имеем:

.

Определим корректирующий коэффициент: .

Определим скорректированные значения сезонной компо­ненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффи­циент k.

где ,

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты:

.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: ;

II квартал:

III квартал: ;

IV квартал: .

Занесем полученные значения в таблицу 13 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответ­ствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы полу­чим величины (графа 4 таблицы 13), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 13 - Расчет выровненных значений Τ и ошибок Ε в мультипликативной модели.

t	Yt	Si	T·E= Yt : Si	T	T·S	E= Yt :(T·S)	E2	(E)2=(Yt –(T·S))2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	410	0,814	503,686	500,305	407,248	1,007	1,014	7,572
2	560	1,05	533,333	549,69	577,175	0,970	0,941	294,963
3	715	1,293	552,978	599,075	774,604	0,923	0,852	3552,634
4	500	0,842	593,824	648,46	546,003	0,916	0,839	2116,305
5	520	0,814	638,821	697,845	568,046	0,915	0,838	2308,402
6	740	1,05	704,762	747,23	784,592	0,943	0,890	1988,402
7	975	1,293	754,06	796,615	1030,02	0,947	0,896	3027,552
8	670	0,842	795,724	846	712,332	0,941	0,885	1791,998
9	705	0,814	866,093	895,385	728,843	0,967	0,936	568,507
10	950	1,05	904,762	944,77	992,009	0,958	0,917	1764,714
11	1200	1,293	928,074	994,155	1285,44	0,934	0,871	7300,406
12	900	0,842	1068,88	1043,54	878,661	1,024	1,049	455,367
Итого	8845	12	8845	9263,07	9284,98	11,444	10,927	25176,823

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной моде­ли. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, исполь­зуя уровни . Уравнение тренда имеет следующий вид:

,

.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни T для каждого момента времени (графа 5 таблицы 13). График уравнения тренда приведен на рисунке 20.

Рисунок 20 – Объем выпуска товаров фирмой(фактические и

выровненные по мультипликативной модели значения уровней ряда)

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни T на значения сезонной компоненты для соот­ветствующих кварталов. Графически значения представле­ны на рисунке 5.

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели произво­дится по формуле:

,

Численные значения ошибки приведены в графе 7 таблицы 13.

Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно использовать величину абсолютной ошибки:

,

Следовательно, ошибка ε мультипликативной модели составит:

.

Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда в мультипликативной модели составит .

Прогнозирование

Для прогнозирования из двух рассмотренных моделей необходимо выбрать ту, у которой ошибка ε наименьшая. Следовательно, при прогнозировании будет использоваться аддитивная модель, так как .

Таким образом, прогнозное значение уровня временного ряда в аддитив­ной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объем товаров, выпущенного фирмой в течение первого по­лугодия ближайшего следующего, т. е. четвертого года, рассчитывается как сумма объемов выпущенных товаров в I и во II кварталах четвертого года, соответственно и . Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

.

Получим:

;

.

Значения сезонной компоненты равны: (I квартал); (II квартал). Таким образом,

;

.

Прогноз объема выпуска товаров фирмой на первое полу­годие 2006 года составит:

усл.ед.

Следует отметить, что для осуществления прогноза по мультипликативной модели, прогнозные значения F определяются как:

.