15. Анализ кривой Гаусса. Точные и эмпирические формулы для средних величин

Прежде чем приступить к использованию распределения Гаусса для оценки погрешностей измерений, рассмотрим детально поведение функции и ее производных, чтобы определить особые точки на кривой у(х) и характерные значения у при некоторых х.

Ниже на графиках приведена сама функция и ее первая производная, которая демонстрирует наличие на кривой у(х) двух точек перегиба (х₁ и х₂).

Положение максимума у(х) находим путем приравнивания нулю первой производной у΄(х), хотя, в принципе, и так ясно, что он находится в точке х = 0. Точки перегиба находим, в свою очередь, путем приравнивания нулю второй производной Выражения для у΄΄(х) и у΄΄(х) имеют следующий вид

Решая уравнение у΄΄(х) = 0, находим точки перегиба: х₁ = -σ, х₂ = +σ. Значения у(х) в этих точках, а также в точках х = ±2σ и х = ±3σ вычисляем при помощи калькулятора: у(±σ)  0,60; у(±2σ)  0,14; у(±3σ)  0,01. Из приведенного рассмотрения следует, что разность х₂ – х₁, которая характеризует ширину кривой у(х), равна 2σ, а расположена эта ширина на высоте 0,6. Кроме того, видно, что реальный интервал изменения у(х) ограничен значениями ±3σ (при |х| > 3σ у(х) асимптотически стремится к нулю).

Перейдем теперь от функции распределения случайных ошибок к функции распределения измеряемых величин х (см. вопрос 14). Согласно правилам нахождения средних величин, мы можем найти среднее значение <x> и дисперсию, используя соответствующие выражения

После взятия интегралов получим <x> = x₀ и <(x-x₀)²> = σ².

Данные формулы для средних величин являются точными, в отличие от эмпирических формул, используемых при обработке результатов ограниченного числа измерений (см. вопрос 13). Глубинный смысл использования кривой Гаусса при обработке результатов эксперимента заключается в приравнивании (отождествлении) точных и эмпирических величин для средних. Прежде всего такое приравнивание дает основание аппроксимировать точное значение х₀ его средним значением, полученным суммированием величин х_i. Далее, это дает основание заменять точную величину σ ее эмпирическим аналогом, что позволяет использовать величины S, найденные из измерений, для нахождения доверительных интервалов и доверительных вероятностей (см. вопрос 16).

16. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Знание закона распределения случайных ошибок в эксперименте дает математическую основу для вычисления погрешности измерений. Предполагая, что кривая распределения ошибок в эксперименте – это функция Гаусса, мы можем дать строгую оценку назначаемой нами погрешности, указав не только саму погрешность, но и вероятность того, что измеренная величина не выходит за границы некоторого заданного нами интервала. Рассмотрим это положение подробнее с использованием графика распределения случайных ошибок в эксперименте.

Обозначим задаваемую нами погрешность буквой , тогда заштрихованная площадь будет равна вероятности того, что результат измерения не выйдет за границы интервала {-, }, отложенного на оси абцисс. Данный интервал называют доверительным, а соответствующую ему вероятность попадания результата в этот интервал – доверительной вероятностью. Доверительный интервал  выражают обычно через относительную величину t = /σ, а доверительную вероятность P(t) находят по табличным значениям интеграла вероятностей Φ(t). Рассмотрим этот вопрос подробней.

Исходное выражение для доверительной вероятности Р(), т.е. заштрихованная на приведенном выше рисунке площадь, определяется интегрированием ρ(х) от - до :

.

Делая замену переменной х/σ = ξ и, заменяя пределы интегрирования на введенную выше безразмерную величину t, найдем

,

где Φ(t) – интеграл вероятностей.

Данный интеграл в виде таблиц приводится во многих справочниках. Ниже приводится сильно упрощенная таблица 1, позволяющая найти некоторые характерные значения интеграла для заданных t. На рисунке приведен график Φ(t), из которого видно, что при увеличении t от нуля до трех, Φ(t) увеличивается монотонно от нуля до 0,9973, асимптотически приближаясь затем к единице.

Таблица 1 позволяет, таким образом, найти доверительную вероятность, задав доверительный интервал. Помимо этого существует таблица 2, которая позволяет определить доверительный интервал t, если задана доверительная вероятность Р(t) (ее упрощенный вариант приведен ниже).

Наиболее часто при обработке результатов эксперимента используют значения t = 2(=2σ) и t = 3(=3σ). Соответствующие доверительные вероятности: Р(2)  0,955 и Р(3)  0,997.

Таблица 1. Значения интеграла вероятности при заданных значениях t			Таблица 2. Значения t при заданных значениях Ф(t)
t	Ф(t)		Ф(t)	t
0 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 2,0 3,0 	0 0,0797 0,1585 0,2358 0,3829 0,5161 0,6827 0,9545 0,9973 1		0.50 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 0.997	0,675 1,036 1,282 1,645 1,960 2,576 3

График зависимости Ф(t)