Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается через все его сторон.  Теорема. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.   

Углы, вписанные в окружность

 Плоскость разбивается углом на две части, на два плоских угла. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными 

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. 

  Угол, называется вписанным в окружность, если вершина угла лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность. ∠ ABC вписанный в окружность.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, – прямой

Теорема Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.  Пропорциональность отрезков хорд Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то  AS·BS=CS·DS Отношение длины окружности к диаметру обозначается греческой буквой π: 

π= → l=2πR

Пусть центральный угол n°; углу в n° соответствует дуга длины:   Площадь круга равна: S=πR² Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.   

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. 

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Признаки подобия треугольников Теорема. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны,

то треугольники подобны.  Теорема. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.