2. Методи визначення точкових статистичних оцінок

Існують наступні методи визначення точкових статистичних оцінок для параметрів генеральної сукупності.

1) Метод умовних варіант.

Для спрощення обчислень вибіркових характеристик негрупованої вибірки дані перетворюють наступним чином:

, , (1)

де – значення варіанти, яка зустрічається з найбільшою частотою. Варіанта називається умовним нулем, а перетворені дані називаються умовними варіантами.

Середнє і дисперсія початкових даних пов’язані з середнім і дисперсією перетворених даних так:

(2)

. (3)

Для спрощення обчислень вибіркових характеристик групованої вибірки з рівними інтервалами довжини дані перетворюють наступним чином:

, , (4)

де за умовний нуль береться значення середини інтервалу , який має найбільшу частоту.

Середнє і дисперсія початкових даних пов’язані з середнім і дисперсією перетворених даних так:

(5)

. (6)

Приклад 3. Використовуючи дані прикладу 1 лекції 9 обчислити вибіркові середню і дисперсію, попередньо перетворивши дані.

Розв’язання. В таблиці розподілу частот вибірки прикладу 1 лекції 9 найбільшу частоту має варіанта 28. Візьмемо її за умовний нуль. Тоді за формулою (1)

Варіанти	20	22	25	26	27	28	29	30	31	32
Умовні варіанти	–8	–6	–3	–2	–1	0	1	2	3	4
Частоти	1	2	1	1	2	6	1	3	2	1	20

Обчислимо і :

.

За формулами (2) і (3)

,

що в точності збігається з результатами прикладів 1 і 7 лекції 9.

Приклад 4. Використовуючи груповані дані прикладу 3 лекції 9 обчислити вибіркові середню і дисперсію, попередньо перетворивши дані.

Розв’язання. В таблиці розподілу частот групованої вибірки прикладу 3 лекції 9 найбільшу частоту має інтервал № 5. Візьмемо за умовний нуль середину цього інтервалу 29. Тоді за формулою (4):

№ інтервалу	1	2	3	4	5	6
Межі інтервалів	20-22	22-24	24-26	26-280	28-30	30-32
Середина інтервалу	21	23	25	27	29	31
	–4	–3	–2	–1	0	1
Частота інтервалу	1	2	1	3	7	6	20

Обчислимо і :

.

За формулами (5) і (6)

,

.

2) Метод найменших квадратів. Згідно з цим методом статистичні оцінки визначаються з умови мінімізації суми квадратів відхилень варіант вибірки від оцінки .

Приклад 5. Визначимо, використовуючи метод найменших квадратів точкову статистичну оцінку для . Для цього скористаємося функцією . Використовуючи умову екстремуму, дістанемо:

.

Звідси випливає, що для генеральної середньої точковою статистичною оцінкою буде — вибіркова середня.

3) Метод моментів. Нехай є вибірка з генеральної сукупності з теоретичною функцією розподілу, яка залежить від невідомих параметрів

,

які потрібно оцінити. Оскільки вид теоретичної функції розподілу відомий, ми можемо обчислити перші теоретичних моментів. Ці моменти, ясно, будуть залежати від невідомих параметрів :

,

,

.....................................

.

Метод моментів точкової оцінки невідомих параметрів розподілу полягає в прирівнюванні теоретичних моментів до відповідних їм емпіричних (вибіркових) моментів того ж порядку. В результаті буде отримана система рівнянь, де невідомими будуть параметри . При розв’язуванні цієї системи будуть отримані оцінки параметрів :

,

,

.......................................

.

Зауваження. Метод моментів було викладено з використанням центральних моментів. Все, що сказане вище, має місце і для початкових моментів.

Метод моментів вперше запропонував П.Л. Чебишов, цей метод розвинули його учні і англійський математик Карл Пірсон (1857-1936).

Приклад 6. Нехай теоретичний розподіл визначається двома параметрами. Прирівняємо початковий теоретичний момент першого порядку до початкового емпіричного моменту першого порядку і центральний теоретичний момент другого порядку до центрального емпіричного моменту другого порядку:

,

Врахувавши, що , ; , , отримаємо систему рівнянь

Ліві частини системи є функціями від невідомих параметрів, тому розв’язавши цю систему відносно цих параметрів, дістанемо їх точкові оцінки.

4) Метод максимальної правдоподібності.

Цей метод вперше запропонував Р. Фішер (1890-1962).

Нехай, як і раніше, є вибірка з генеральної сукупності з теоретичною функцією розподілу, яка залежить від одного невідомого параметра .

Означення. Функція невідомого параметра

називається функцією правдоподібності. Тут – щільність розподілу випадкової величини при неперервному розподілі і – при дискретному.

Визначна властивість функцій правдоподібності полягає в тому, що вони як би вбирають в себе всю інформацію, яка є в вибірці відносно параметра .

Означення. Оцінкою максимальної правдоподібності називається таке значення , для якого

На практиці використовують не саму функцію правдоподібності, а її логарифм .

Використовуючи необхідну і достатню умову екстремуму функції, оцінку максимальної правдоподібності можна знайти за таким алгоритмом:

1. Знайти похідну , прирівняти її до нуля і знайти корінь рівняння правдоподібності

2. Знайти другу похідну і, якщо при друга похідна від’ємна, то – оцінка максимальної правдоподібності невідомого параметра.

Приклад 7. Знайти методом максимальної правдоподібності оцінку параметру розподілу Пуассона

,

користуючись вибіркою, яка дала значення для випадкової величини .

Розв’язання. Функція правдоподібності в цьому випадку має вигляд:

.

ЇЇ логарифм, відповідно, буде таким

Для визначення оцінки параметру випишемо рівняння правдоподібності

Звідки маємо

Знайдемо тепер другу похідну по :

.

Враховуючи, що значеннями вибірки можуть бути тільки цілі невід’ємні значення , переконуємося в тому, що при друга похідна від’ємна:

.

Отже, оцінкою максимальної правдоподібності параметра для розподілу Пуассона буде вибіркова середня .