2. Вибірковий коефіцієнт кореляції
Нехай
і
– випадкові величини, зв’язок між якими
треба дослідити. Вибірковий коефіцієнт
кореляції
є статистичним аналогом для коефіцієнта
кореляції
системи двох випадкових величин
,
який розглядався в теорії ймовірностей
і визначався формулою:
,
де
– коваріація випадкових величин
і
,
,
– середні квадратичні відхилення
випадкових величин
і
відповідно.
Коефіцієнт кореляції характеризує не будь-яку залежність, а тільки лінійну. Лінійна ймовірнісна залежність випадкових величин полягає в тому, що при зростанні однією випадкової величини друга має тенденцію до зростання (або спадання) за лінійним законом. Коефіцієнт кореляції характеризує силу (тісноту) кореляційного зв’язку між випадковими величинами та .
Вибірковий коефіцієнт кореляції за означенням є
(1)
де
– вибіркова коваріація випадкових
величин
і
,
,
– вибіркові середні квадратичні
відхилення випадкових величин
і
відповідно.
Нехай
в результаті
випробувань дістали
значень величин
і
,
.
Оскільки
,
,
,
то, підставивши ці вирази в формулу (1) отримаємо робочу формулу для практичних розрахунків вибіркового коефіцієнту кореляції :
(2)
Основні властивості вибіркового коефіцієнта кореляції такі самі, як і теоретичного:
1.
.
2. Якщо
випадкові величини лінійно залежать
одна від одної, то
.
3. Якщо
випадкові величини незалежні, то
.
4. Якщо
,
то випадкові величини залежні.
Значно збільшується цінність коефіцієнта кореляції для випадкових величин, що мають закон розподілу ймовірностей, близький до нормального. Для таких величин відсутність кореляції одночасно означає і відсутність будь-якої залежності між ними.
3. Згладжування експериментальних даних методом найменших квадратів
Нехай вивчається двовимірна випадкова величина (кількісна ознака) . Нехай в результаті випробувань дістали значень величин і , . Експериментальні дані представлені таблицею:
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
Припустимо, що між випадковими величинами і існує кількісний зв’язок
.
Одною
з головних задач математичної статистики
є визначення вигляду зв’язку
.
Інакше кажучи, нам треба знайти таку
функцію
,
яка при значеннях незалежної ознаки
давала б значення
,
,
...,
,
достатньо близькі до табличних значень
залежної ознаки
.
Щоб
легше було встановити аналітичну
залежність між випадковими величинами
і
,
на площині
будують точки з координатами
,
,
...,
.
Сукупність точок
називається кореляційним
полем
або діаграмою
розсіювання.
З’єднавши точки
відрізками прямих, отримаємо ламану
лінію, яка називається емпіричною
лінією регресії.
За виглядом цієї ламаної можна зробити
висновок про форму кореляційного зв’язку
між випадковими величинами
і
наступним чином: підбирається одна з
відомих кривих, яка більше підходить
до побудованої ламаної, і за представлення
залежності між випадковими величинами
і
береться рівняння цієї кривої. Така
операція називається згладжуванням
ламаної
за допомогою кривої.
Функція
називається функцією
регресії, графік
функції
називається кривою
регресії.
Крива регресії використовується для
прогнозування значень випадкової
величини
при фіксованому значенні випадкової
величини
.
На практиці найбільш часто використовують найпростіші криві регресії:
пряму
;
параболу другого порядку
;
гіперболу
.
Параметри цих рівнянь називаються параметрами регресії. Метод, який дозволяє визначити параметри регресії, запропонували на початку 19 ст. А. Лежандр і К. Гаусс (незалежно один від одного). Суть цього методу полягає в тому, що коефіцієнти формул вибираються так, щоб сума квадратів відхилень значень, які спостерігалися, від їх істинного значення була б мінімальною. Цей метод називається методом найменших квадратів або методом Гаусса.
Застосуємо цей метод для визначення конкретних функціональних залежностей.