2. Критична область. Основний принцип статистичної перевірки статистичних гіпотез

Основний принцип статистичної перевірки статистичних гіпотез полягає в тому, що малоймовірні події вважаються неможливими, а події, які мають велику ймовірність, вважаються достовірними. Цей принцип реалізується наступним чином.

Після вибору певного критерію (нагадаємо, що це є випадкова величина ), множина всіх його можливих значень розбивається на дві підмножини і , які не перерізаються:

,

і такі, що складається із значень критерію, при яких приймається, а складається із значень критерію, при яких відхиляється.

Означення. Областю прийняття нульової гіпотези називається множина значень критерію, при яких приймається.

Означення. Критичною областю називається множина значень критерію, при яких відхиляється.

Сформулюємо основний принцип статистичної перевірки статистичних гіпотез: якщо спостережуване значення критерію належить критичній області – нульову гіпотезу відхиляють, якщо спостережуване значення критерію належить області прийняття нульової гіпотези – нульову гіпотезу приймають.

Нехай критерій – одновимірна випадкова величина. Тоді всі її можливі значення належать деякому інтервалу числової прямої. Природно, що критична область і область прийняття нульової гіпотези також будуть інтервалами. Отже, існують точки, які розділяють ці області.

Означення. Точки, які відділяють критичну область і область прийняття нульової гіпотези називаються критичними. Позначаються .

Розрізняють односторонні (правосторонні і лівосторонні) і двосторонні критичні області.

Правосторонньою називається критична область, яка визначається нерівністю , де :

Лівосторонньою називається критична область, яка визначається нерівністю , де :

Двосторонньою називається критична область, яка визначається сукупністю нерівностей

де :

Зокрема, якщо критичні точки і відрізняються знаком, то двостороння критична область визначається нерівністю :

3. Загальний алгоритм перевірки правильності нульової гіпотези

В основу перевірки нульової гіпотези Н₀ покладено принцип , тобто ймовірність того, що статистичний критерій попадає в критичну область , дорівнює малій ймовірності – рівню значущості. Якщо ж виявиться, що малоймовірна подія все ж відбулася, то немає підстав приймати нульову гіпотезу.

Перевірка правильності нульової гіпотези відбувається за таким алгоритмом:

1. Сформулювати нульову й одночасно альтернативну гіпотезу .

2. Вибрати рівень значущості .

3. Вибрати статистичний критерій , який відповідав би сформульованій нульовій гіпотезі.

4. Визначити вибірковий розподіл випадкової величини при умові, що гіпотеза вірна.

5. За вибраним статистичним критерієм та рівнем значущості знайти критичні точки з умови:

– для правосторонньої критичної області;

– для лівосторонньої критичної області;

де – для двосторонньої критичної області;

, де – для двосторонньої симетричної критичної області;

6. За даною вибіркою визначити спостережуване значення критерію .

7. Прийняти статистичне рішення:

Якщо , тобто для правосторонньої критичної області;

для лівосторонньої критичної області; і для двосторонньої симетричної критичної області, то гіпотеза відхиляється як така, що не узгоджується з результатами спостережень.

Якщо , то гіпотеза приймається як така, що узгоджується з результатами спостережень.

Зауваження. На кроках 3-7 звичайно використовують критерії, для яких складені спеціальні таблиці, за допомогою яких знаходять критичну точку, що задовольняє умовам п.5. Величина звичайно береться із стандартним нормальним розподілом , з розподілом , з розподілом Стьюдента, з розподілом Фішера.

Означення. Ймовірність попадання випадкової величини в критичну область при умові, що справедлива альтернативна гіпотеза називається потужністю критерію. Інакше кажучи, потужність критерію – це ймовірність того, що нульова гіпотеза буде відхилена, якщо справедлива альтернативна гіпотеза.

Якщо позначити через ймовірність здійснити помилку ІІ роду (ймовірність події „прийнята нульова гіпотеза при справедливості альтернативної”), то потужність критерію буде дорівнювати .

Якщо з метою зменшення ризику відхилити правильну гіпотезу Н₀ зменшуватимемо значення , то в цьому разі критична точка зміщуватиметься праворуч, що, у свою чергу, спричинює збільшення ймовірності помилки другого роду, тобто величини .

Під час розв’язування практичних завдань може виникнути потреба вибору статистичного критерію з їх певної множини. У цьому разі вибирають той критерій, який має найбільшу потужність.