Композиция преобразований на плоскости

последовательность преобразований может быть реализована как

Произведение матриц называют их композицией. Соответственно, преобразования с матрицей называется композицией преобразований с матрицами . Последовательность умножения матриц важна.

Один из примеров композиции преобразований с использованием однородных координат–это вращение вокруг произвольной точки. Вращение вокруг произвольной точки может быть выполнено путем переноса центра вращения в начало координат, поворотом относительно начала координат, а затем переноса точки вращения в исходное положение. То есть поворот точки вокруг точки на угол выполняется следующим образом

Композиция трех матриц преобразования дает общую матрицу вращения вокруг произвольной точки

В частности, для ;

для

;для .

хотя композиция (умножение) матриц в общем случае не коммутативно, но в некоторых частных случаях коммутативность имеет место, то есть , если , :

перенос, перенос

масштабирование, масштабирование

поворот, поворот

обшее масштабирование, поворот

3.Двумерное смещение и однородные координаты. Точки в бесконечности. Двумерное смещение и однородные координаты

Для переноса начала координат вводят третью компоненту в вектор координат точки и третью строку в матрицу преобразования.

Матрица преобразования не является квадратной и, значит, не имеет обратной матрицы. Поэтому дополним ее до квадратной, тогда

В случае произвольных значений элементов матрицы получим вектор преобразованных координат вида .

Представление двумерного вектора трехмерным или, в общем случае, представление - мерного вектора в - мерным называется однородным координатным воспроизведением; координаты – однородными координатами.

Однородные координаты интерпретируются как результат масштабного преобразования точки , лежащей в плоскости , в точку в плоскости . При однородном координатном преобразовании -мерного вектора оно выполняется в ( -мерном пространстве, а конечные результаты в мерном пространстве получают как ; .Очевидно, что для любой точки на плоскости существует бесконечное множество однородных координатных представлений.

дает дополнительные преимущества

все преобразования матрицей реализуются в однородных координатах с помощью матрицы

то есть результат тот же, что и для

матрица В общем виде

Элементы матрицы выполняют следующие функции:

покоординатное изменение масштаба, сдвиг, вращение

смещение;

полное изменение масштаба;

получение центральных проекций; центр проектирования в начале координат.

Точки в бесконечности

Однородные координаты могут представлять точки в бесконечности, лежащие на некоторой прямой.

Двумерный вектор однородных координат образует точку в бесконечности на линии

Для иллюстрации этого рассмотрим линию и точку, однородные координаты которой имеют вид , при .

Видно, что при . При этом все время сохраняется соотношение , то есть точка движется в бесконечность по указанной прямой. Из этого следует, например, что вектор однородных координат характеризует точку в бесконечности на оси абсцисс ; вектор – точку в бесконечности на оси ординат .