4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример.

Рассмотрим матрицу А размером mxn. Выделим в матрице любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют определитель k-го порядка. Его называют минором матрицы А порядка k.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Иными словами, число r называется рангом ненулевой матрицы А, если:

1. у матрицы А есть ненулевой минор порядка r;

2. всякий минор порядка (r+1) и выше равен нулю.

Ранг матрицы А обозначается символом rangA.

Матрицу называют ступенчатой, если каждая её строка начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущий.

Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ней.

Обратная матрица и её нахождение методом присоединённой матрицы

Пусть А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера. Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = Е и В ∙ А = Е.

Обратная матрица обозначается А^-1.

АА^-1 = А^-1А = Е

Теорема 2. Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель │А│ отличен от нуля.

Доказательство: если А имеет обратную, то Е = А ∙ А^-1 , откуда по свойству 10 определителей имеем

1 = │Е│ = │ А ∙ А^-1│= │А│ ∙ │А^-1│, откуда видно, что │А│≠ 0.

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(3.2)

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).

Теорема (О ранге матрицы). Строчный и столбцовый ранги матрицы  совпадают. (Ранг матрицы   - число линейно независимых строк (столбцов) матрицы )

Доказательство.  Рассмотрим  образ  отображения   . Образ состоит из всевозможных  линейных комбинаций строк матрицы А, следовательно, размерность образа равна строчному рангу матрицы А.

Из представления , следует, что ядро  имеет размерность равную (n – столбцовый ранг), значит, размерность образа равна n-(n-столбцовый ранг) = столбцовый ранг.

Таким образом строчный и столбцовый ранги матрицы совпадают.

Что и требовалось доказать.

6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют:

1. перестановку двух уравнений местами;

2. умножение уравнения на ненулевое число или сокращение на общий множитель;

3. прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;

4. отбрасывание нулевых уравнений.

Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в эквивалентную.

Элементарные преобразования системы аналогичны элементарным преобразованиям матрицы, поэтому для сокращённой записи их обычно выполняют не с системой уравнений, а с её расширенной матрицей.

Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы D с помощью элементарных преобразований сначала к ступенчатому виду (прямой ход), а затем по возможности – к диагональному виду (обратный ход). Возникающая в процессе преобразования система уравнений легко решается. В промежутке между прямым и обратным ходом обсуждают вопрос о существовании и единственности решения.

Между прямым и обратным ходом применяются два правила:

1. если в последней строке до черты есть ненулевые числа, то система совместна, если наоборот – несовместна.

2. если все ступеньки короткие, то система является определённой, если наоборот – неопределённой.

Если система оказалась совместной, переходим к обратному ходу: использование элементарных преобразований делает нули над началами ступенек, по возможности превращаем в +1. В результате возникает система, решаемая тривиальным способом.

Если система несовместна – решений нет.

Теорема 6 (Кронекера - Капелли). Если rangD > rangA, то система несовместна. Если же rangD = rangA, то система совместна.

8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений.

Система из m линейных уравнений с n неизвестных имеет вид

a_ij называются коэффициентами, а b_i – свободными членами или правыми частями.

Матрицу А = называют матрицей (коэффициентов) системы.

Матрицу D = называют расширенной матрицей системы.

Если b_i = 0 при всех i = 1,2, ... , m, то система называется однородной. Если хотя бы один b_i ≠ 0, то система называется неоднородной.

Однородная система всегда имеет нулевое решение.

Если система имеет хотя бы одно решение, то её называют совместной. Если не имеет – несовместной.

Если система имеет единственное решение, то её называют определённой. Если решений 2 и более, то неопределённой.