Статистические характеристики случайных величин

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины.

Предположим, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина X может принимать значения x₁, x₂, ..., x_k с вероятностями p₁, p₂, ..., p_k:

P{ X=х_i } = р_i

При этом

то математическое ожидание случайной величины X определяется как:

Дисперсией случайной величины X называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

эту формулу можно переписать следующим образом:

Среднеквадратическим отклонением случайной величины X называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

Оценка статистических характеристик случайных величин Общие понятия

При решении многих прикладных задач необходимые вероятностные характеристики соответствующих случайных величин неизвестны исследователю и должны определяться по экспериментальным данным. Такое статистическое описание результатов наблюдений, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляют основное содержание математической статистики. Фундаментальными понятиями статистической теории являются понятия генеральной совокупности и выборки.

Определение. Генеральная совокупность — совокупность всех мыслимых (возможных) результатов наблюдений над случайной величиной, которые в принципе могут быть проведены при данных условиях.

Содержательный смысл этого понятия состоит в том, что предполагается существование некоторых вполне определенных свойств, неслучайных закономерностей, присущих данной совокупности. Эти свойства и должны быть определены исследователем. Фактически эти свойства являются объективным отображением вероятностных свойств изучаемого объекта, которые могут быть охарактеризованы с помощью соответствующих законов распределения вероятностей или связанных с ними числовых параметров. Как правило, считается, что указанные свойства не изменяются во времени.

Определение. Выборка—это конечный набор x₁, x₂, …, x_N значений случайной величины, полученный в результате наблюдений. Число элементов N выборки называется ее объемом или размером.

Заметим, что выборка может иметь и совпадающие значения x_i случайной величины X. Интуитивно понятно, что чем больше объем выборки, тем более точно она должна отражать статистические свойства случайной величины.

Определение. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно полно характеризует свойства генеральной совокупности.

Для обеспечения репрезентативности выборки чаще всего используют метод случайного выбора элементов. Предполагается, что при таком выборе каждая возможная выборка фиксированного объема имеет одну и ту же вероятность выбора, а последовательные наблюдения взаимно независимы.

Оцениванием в статистике называется указание приближенного значения интересующего нас параметра (или функции от некоторых параметров) на основе наблюдаемых (экспериментальных) данных, представленных в виде выборки ограниченного объема.

Оценка—это правило вычисления приближенного значения параметра (или функции от некоторых параметров) по наблюдаемым данным. При многократном извлечении выборок одного и того же объема и последующем нахождении множества оценок одного и того же параметра получаются различные числовые значении этих оценок, изменяющиеся от одной выборки к другой случайным образом.

Иными словами, любая оценка произвольного параметра есть случайная величина. В этом состоит принципиальное отличие оценки от самого параметра.

Для истинного математического ожидания M[X] существует его оценка , вычисляемая по выборке объема n случайной величины Х = (x₁, x₂, …, x_n) :

Для истинной дисперсии D[X] (характеристика рассеивания случайной величины около ее математического ожидания) ее оценка при известном математическом ожидании m_x вычисляется так:

где является среднеквадратическим отклонением.

В случае неизвестного математического ожидания дисперсию нужно вычислять по формуле:

Не будем забывать о том, что оценки сами являются случайными величинами, а значит, обладают некоторым разбросом, который оценивается дисперсией.

После вычисления точечных оценок обычно переходят к построению вариационного ряда, диаграммы накопленных частот и гистограммы выборки.