3.1.5. Интегрирование "по частям"
.
Прием эффективен
при интегрировании функций логарифмической,
обратных тригонометрических, а также
произведений функций степенной на
показательную, тригонометрическую,
обратную тригонометрическую. Выбор
множителя u
(оставшийся множитель в интеграле есть
)
обусловлен такими соображениями:
должен иметь
простой вид;первообразная
должна легко отыскиваться;
должен оказаться
проще
(т.е. исходного).
Пример
1.
.
Решение.
Имеем
произведение степенной и показательной
функций. Выберем
.
Тогда
.
Следовательно,
,
(найдена одна из первообразных по методу 3.1.4, в)). По формуле 3.1.5 имеем
.
Заметим, что
возможен был также
выбор
,
но в результате бы интеграл
оказался сложнее исходного.
Пример 2.
.
Решение.
Здесь
возможен лишь выбор
.
Тогда
.
Следовательно,
3.1.6.
Интегрирование
рациональных дробей.
Речь идет о
дробях типа
и т.п. (отношение многочленов). Дробь
правильная, если степень числителя
меньше степени знаменателя (первая
дробь) и неправильная – в противном
случае (например, вторая дробь).
а) Если предстоит
интегрировать правильную дробь, то ее
знаменатель записываем в виде произведения
множителей типа
и
.
После этого дробь
будет
представляется суммой слагаемых типа
и
интегрирование которых – стандартная задача.
Пример.
.
Решение. Имеем
.
Множителю
соответствуют два слагаемых:
;
множителю
– слагаемое
,
т.е.
.
Если теперь определить коэффициенты А, В, С, то интегрирование сведется к табличному. Приводя дроби к общему знаменателю, получим
или
,
откуда (коэффициенты при одинаковых степенях будут равными)
или
.
Следовательно,
.
б) Неправильную дробь можно представить как результат деления с остатком (деления многочленов "углом") в виде
дробь
частное
,
после чего задача интегрирования сводится к цепочке известных задач.
Пример.
.
Решение. Подынтегральная функция – неправильная дробь. Выполнив деление числителя на знаменатель, получим:
.
Теперь выполняем интегрирование:
.
3.1.7. Интегрирование некоторых типов иррациональностей.
а)
Если в подынтегральном выражении с
блоком
и аргументом х
выполняются лишь арифметические
действия, то вводится новая переменная
,
откуда затем выражается х
и вычисляется
.
б) Если арифметические
действия выполняются над блоками
,
,
... и аргументом х,
то переменная t
вводится по формуле
,
где N
– наименьшее общее кратное чисел m,
n,
...; далее поступаем как в п. а).
Полученные в п. а), б) интегралы – интегралы рациональных функций переменной t.
Пример.
.
Решение.
Имеем
интеграл типа 3.1.7,
б). Общее наименьшее кратное показателей
корней
.
Следовательно
,
а тогда
.
Значит
в заключительном
звене цепочки равенств
.
3.1.8. Интегрирование некоторых типов тригонометрических выражений.
а) Интеграл вида
- целые. Если
(нечетно), то
.
Положим
,
тогда
и имеем интеграл
от
многочлена или типа
3.1.6.
Аналогично поступаем в случае нечетного
n.
Если m,
и
– четны, то упрощаем интеграл с помощью
формул понижения степени
,
.
Примеры.
1)
.
Использованы приемы интегрирования 3.1.8, а) и 3.1.4, в).
2.
.
Полагая
,
имеем
.
б) Универсальная тригонометрическая подстановка
применяется, если
подынтегральное выражение содержит
только арифметические действия над
и
;
при этом получаем интегралы типа 3.1.4,
3.1.6.
Пример.
.
Положим
;
согласно формулам п.б)
.
3.1.9 Тригонометрические подстановки при интегрировании некоторых иррациональностей.
а) Если подынтегральное
выражение содержит только арифметические
действия над х
и
,
то применяется замена
(или
),
после чего
,
.
б) Если та же
ситуация с х
и
,
то полагаем
(или
),
тогда
,
.
в) В случае же х
и
полагаем
(или
),
тогда
,
.
Пример.
.
Решение.
Имеем
выражение типа 3.1.9,
а). Положим
(следовательно,
),
тогда
(для определенности выбран знак плюс
при извлечении корня),
.
Тогда
(
и
выражены через х
из ранее записанных соотношений).
Рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Не существует общего универсального метода интегрирования, поэтому возможности алгоритмизации в данном разделе математики весьма ограничены. Необходимы определенные навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.
Возникает
вопрос
о
возможности
вычисления
интеграла
от
любой
элементарной
функции.
Все
элементарные
функции
дифференцируемы
и
их
производные
снова
являются
элементарными
функциями.
Об
интегрировании
функций
это
сказать
нельзя.
Существует
немало
элементарных
функций,
интегралы
от
которых
не
выражаются
через
элементарные
функции
(говорят:
«не
интегрируются
в
конечном
виде»),
например:
и др.
Подчеркнем, что эти интегралы существуют, но они определяют функции, не являющиеся элементарными.
Было бы ошибочно считать, что «неберущиеся» интегралы являются экзотикой, придуманной математиками. К «неберущимся» интегралам приводят многие теоретические и практические задачи теории вероятностей, статистики, механики и др.
3.1.11 Задачи для самостоятельного решения. Найти следующие неопределенные интегралы
1. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
2. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
3. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
4. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
5. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
6. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
7. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
8. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
9. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
10. |
а)
|
б)
|
|
в)
|
г)
|
11.
|
12.
|
13.
|
14.
|
15.
|
16.
|
17.
|
18.
|
19.
|
20. |
|
|
