3. На той же сетке узлов построить таблицу приближенных значений , используя составную квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами.
где
где
-
точки разбиения отрезка интегрирования
на N частей
Интеграл
вычисляется с точностью
.
Точность вычисления определяется
сравнением результатов при различном
числе разбиения отрезка интегрирования.
Именно, точность
считается достигнутой, если
Получим таблицу:
i |
xi |
fi |
yi |
Δi |
N |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
0,2 |
0,222702 |
0,222702 |
1.0e-009 |
4 |
2 |
0,4 |
0,428392 |
0,428392 |
9.5e-008 |
4 |
3 |
0,6 |
0,603856 |
0,603855 |
5.14e-007 |
4 |
4 |
0,8 |
0,742100 |
0,742100 |
4.1e-008 |
8 |
5 |
1 |
0,842700 |
0,842700 |
8.0e-008 |
8 |
6 |
1,2 |
0,910314 |
0,910313 |
2.83e-007 |
4 |
7 |
1,4 |
0,952285 |
0,952285 |
1.29e-007 |
8 |
8 |
1,6 |
0,976348 |
0,976348 |
3.92e-007 |
8 |
9 |
1,8 |
0,989090 |
0,989091 |
5.95e-007 |
8 |
10 |
2 |
0,995322 |
0,995323 |
6.38e-007 |
8 |
где
полученное
в пункте1,
полученное в данном пункте,
График погрешностей:
На той же сетке узлов построить таблицу приближенных значений , используя составную квадратурную формулу Симпсона:
Получим таблицу:
i |
xi |
fi |
yi |
Δi |
N |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
0,2 |
0,222702587 |
0,222702586 |
0.8e-008 |
4 |
2 |
0,4 |
0,428392354 |
0,428392259 |
1.44e-007 |
4 |
3 |
0,6 |
0,603856098 |
0,603855583 |
7.54e-007 |
4 |
4 |
0,8 |
0,74210093 |
0,742100889 |
1.49e-007 |
8 |
5 |
1 |
0,842700779 |
0,842700699 |
1.54e-007 |
8 |
6 |
1,2 |
0,910314052 |
0,910313768 |
2.49e-007 |
4 |
7 |
1,4 |
0,952285172 |
0,952285301 |
3.24e-007 |
8 |
8 |
1,6 |
0,976348435 |
0,976348827 |
7.16e-007 |
8 |
9 |
1,8 |
0,989090568 |
0,989091163 |
1.058e-006 |
8 |
10 |
2 |
0,995322375 |
0,995323013 |
1.8e-007 |
16 |
График погрешностей:
На той же сетке узлов построить таблицу приближенных значений , используя формулу трапеций:
Получим таблицу:
i |
xi |
fi |
yi |
Δi |
N |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
0,2 |
0,222702 |
0,222702 |
3.5e-007 |
64 |
2 |
0,4 |
0,428392 |
0,428391 |
6.25e-007 |
128 |
3 |
0,6 |
0,603856 |
0,603855 |
4.39e-007 |
256 |
4 |
0,8 |
0,742100 |
0,742100 |
7.4e-007 |
256 |
5 |
1 |
0,842700 |
0,842699 |
1.042e-006 |
256 |
6 |
1,2 |
0,910314 |
0,910312 |
1.248e-006 |
256 |
7 |
1,4 |
0,952285 |
0,952284 |
1.161e-006 |
256 |
8 |
1,6 |
0,976348 |
0,976347 |
9.6e-007 |
256 |
9 |
1,8 |
0,989090 |
0,989089 |
7.22e-007 |
256 |
10 |
2 |
0,995322 |
0,995321 |
5.3e-007 |
256 |
График погрешностей:
На той же сетке узлов построить таблицу приближенных значений , используя составную квадратурную формулу центральных прямоугольников
,
где
.
Получим таблицу:
x |
fi |
yi |
Δi |
N |
0,0 |
0 |
0,000000 |
0 |
2 |
0,2 |
0,222702 |
0,222748 |
4.5e-005 |
8 |
0,4 |
0,428392 |
0,428473 |
8.1e-005 |
16 |
0,6 |
0,603856 |
0,603911 |
5.5e-005 |
32 |
0,8 |
0,742100 |
0,742200 |
9.9e-005 |
32 |
1,0 |
0,842700 |
0,842735 |
3.4e-005 |
64 |
1,2 |
0,910314 |
0,910352 |
3.9e-005 |
64 |
1,4 |
0,952285 |
0,952321 |
3.6e-005 |
64 |
1,6 |
0,976348 |
0,976465 |
1.17e-004 |
32 |
1,8 |
0,989090 |
0,989174 |
8.3e-005 |
32 |
2,0 |
0,995322 |
0,995376 |
5.4e-005 |
32 |
График погрешностей:
Вывод: по результатам вычислений видно, что наименьшая погрешность и наибольшая скорость сходимости достигается при использовании формулы Симпсона, что говорит об эффективности ее использования.