5.2 Методы анализа детерминированных процессов в линейных стационарных системах

В линейной стационарной системе воздействие и изучаемый процесс связаны дифференциальным уравнением:

,

где - операторный коэффициент передачи, .

Для получения аналитических выражений для процессов на выходе линейной системы применяется метод преобразований Лапласа:

,

где

- изображение выходного процесса.

При нулевых начальных условиях изображение равно:

,

где

- изображение входного воздействия, вычисляемое по формуле:

Cокращённая запись:

Для описания воздействия в системе радиоавтоматики часто используют функции времени, которые либо сами имеют разрыв непрерывности в точке , либо имеют разрывные в этой точке производные:

При воздействии, описываемом такими функциями, разрывы в точке может иметь также выходной процесс и его производные. В этом случае преобразование Лапласа определяется соотношением:

,

т.е. точка включается в интервал, на котором выполняется преобразование.

Во многих случаях достаточно знать значение выходного процесса только при :

5.2.1.Типовые входные воздействия Для оценки свойств систем радиоавтоматики полезно рассмотреть их поведение при некоторых типовых воздействиях:

- ступенчатое воздействие,

- линейное воздействие,

- квадратичное воздействие,

- полиномиальное воздействие.

Линейное и квадратичное воздействия характерны для систем радиоавтоматики. Линейное воздействие возникает, например, в радиолокационном дальномере при постоянной радиальной скорости перемещения сопровождаемого объекта по отношению к локатору. Квадратичное воздействие соответствует, например, cлучаю, когда в системе фазовой автоподстройки частоты частота входного сигнала меняется по линейному закону.

5.3. Показатели качества переходного процесса в системе радиоавтоматики

В зависимости от характера собственных колебаний системы переходный процесс в ней может быть колебательным или апериодическим.

Если корни характеристического уравнения системы действительны, то собственные колебания системы и переходный процесс в ней апериодические. В случае комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения собственные колебания системы являются затухающими гармоническими и переходный процесс в системе колебательный.

К основным показателям качества переходного процесса в системе радиоавтоматики относятся следующие параметры:

1) длительность переходного процесса , равная интервалу времени с момента подачи сигнала до момента времени, когда выходной сигнал не будет отличаться от его установившегося значения более чем на 5%;

2) перерегулирование , равное отношению максимального значения выходного сигнала в переходном процессе к установившемуся значению:

;

3)время установления первого максимума выходного сигнала , характеризующее скорость изменения выходного сигнала в переходном процессе;

4) частота колебаний в переходном процессе , где - период колебаний.

Установившееся значение выходного сигнала системы вычисляется следующим образом:

при единичном входном сигнале , где - передаточная функция замкнутой системы.

В астатических системах радиоавтоматики установившееся значение выходного сигнала в переходном процессе равно единице, в статических системах - .

Пример 5.1.

Дана система с передаточной функцией звена .

Требуется найти перегулирование в системе .

Рис. 5.1. Cтруктурная схема системы радиоавтоматики

Передаточная функция замкнутой системы записывается в виде:

Для приведённого примера:

Разложим эту дробь в сумму обыкновенных дробей:

Получим систему уравнений:

Решением этой системы является следующий набор значений:

Таким образом,

Используя таблицу преобразований, имеем:

По графику (рис.5.1.) необходимо определить величину перерегулирования .

Установившиеся значение выходного сигнала системы вычисляется следующим образом:

где - передаточная функция замкнутой сиcтемы.

Рис.5.2. График переходной характеристики

В данном случае

Перерегулирование равно отношению максимального значения выходного сигнала в переходном процессе к установившемуся значению: