5.1.2. Модель системи з втратою невиконаних замовлень

Рівняння для систем із втратою замовлень аналогічні рівнянням для систем, у яких замовлення враховуються. Вартість перевірок, витрати на подачу замовлень, втрати у наслідок невиконання замовлень будуть в точності тими ж, що і раніше. Незначні зміни повинні бути внесені у вираз для витрат зберігання. У цьому випадку гарантійний запас дорівнює математичному сподіванню обсягу наявних запасів в момент поставки замовлення. Звідси видно, що гарантійний запас складає

(5.11)

У вираз (5.11) включені втрати, які виникають після чергової поставки і до поставки наступного замовлення. Таким чином, для систем із втратою замовлень витрати зберігання визначаються за формулою:

(5.12)

Сумарні середні річні витрати для систем з втратою замовлень обчислюються за формулою

Враховуючи (5.6) і (5.12), остаточно одержуємо

(5.13)

Тут аналогом (5.10) є рівняння

(5.14)

Для того, щоб знайти оптимальні значення і для даної моделі, можна застосувати два алгоритми. За першим алгоритмом можна спробувати розв’язати рівняння сумісно із (5.9) або (5.14), застосовуючи функцію призначену для розв’язання систем нелінійних рівнянь, і тим самим одночасно визначити оптимальні значення . Оскільки функція витрат досить складна і спроба визначення оптимального значення Т із рівняння у Mathcad спряжено із значними труднощами, то для визначення Т зручно застосувати алгоритм дискретної оптимізації (перебірний алгоритм). Для цього використовуючи співвідношення (5.9) або (5.14), спочатку можна знайти оптимальне значення , а потім, протабулювавши функцію по Т, одержати дискретний масив її значень і, визначивши його мінімальне значення знайти оптимальне значення яке відповідає

Другий більш точний алгоритм полягає у одночасному визначенні оптимальних значень які мінімізують функцію За цим алгоритмом значення для і спочатку представляються у вигляді відповідної матриці . Потім, застосовуючи оператор Mathcad знаходиться мінімум функції , за яким визначаються індекси мінімального елемента і відповідні їм оптимальні значення параметрів Значення можна визначати також і графічно.

Цим завершується дослідження найпростіших -моделей. У наближеному вигляді ці моделі можуть використовуватись і тоді, коли часи поставок випадкові.

Алгоритм реалізації моделі для попиту, розподіленого за нормальним законом

 задаємо вхідні дані моделі ;

 записуємо функцію щільності нормованого нормального розподілу і його додаткову функцію розподілу ;

 визначаємо параметри нормального розподілу і середній попит за час

Для знаходження оптимальних значень застосуємо два, вказаних вище, алгоритми:

Алгоритм 1. Визначення оптимального значення за (5.10),

і T₀ як точки мінімуму значень функції C(R₀, T)

 обчислюємо величини За обчисленим знаходимо величину із умови (5.10) – , тобто У Mathcad значення визначається як квантиль нормованого нормального розподілу за допомогою оператора . Таким чином, дорівнює ;

 знаходимо оптимальне значення обсягу фіктивного запасу ;

 визначаємо середню кількість замовлень, врахованих за рік

 визначаємо частку часу , коли на складі відсутній запас;

 записуємо функцію витрат ;

 представляємо масив значень функції при знайденому оптимальному значенні у вигляді масиву , елементи якого де крок зміни Т, задані значення, які визначають діапазон зміни Т, Мінімальне значення функції знаходимо як мінімальний елемент масиву за допомогою функції Mathcad . Далі, визначаючи індекс мінімального елемента масиву , знаходимо оптимальне значення ;

 визначаємо гарантійний запас

Алгоритм 2. Одночасне визначення

 представляємо масив значень функції у вигляді масиву , елементи якого Для цього задаємо діапазони зміни величин – . Крок зміни величини дорівнює 1, для величини крок зміни – задане . Визначаємо кількість кроків зміни Для визначаємо ,

 мінімальне значення функції знаходимо як мінімальний елемент масиву за допомогою функції Mathcad

 визначаємо індекси мінімального елемента масиву і знаходимо оптимальне значення і .

Приклад 5.1. На одному із складів торгівельної фірми секції перевіряються раз у квартал. Для кожної секції використовується стратегія управління запасами. Розглянемо одну із секцій, де зберігаються шини для автомобілів. Середня інтенсивність попиту постійна і дорівнює 600 шин/рік. Склад замовляє шини у виробника і час поставки приблизно постійний і дорівнює 6 місяцям. Величина сумарного попиту за час із достатньою точністю описується нормальним законом розподілу із середнім ) і середнім квадратичним відхиленням Кожна шина обходиться складу у 15 доларів, а прийнятий на складі коефіцієнт витрат зберігання запасу складає 0,2. Реєструються усі замовлення, які надійшли у той час, коли на складі не було запасів, і облік кожного замовлення обходиться у 25 доларів.

Треба визначити оптимальний рівень запасів і оптимальний період перевірки стану запасів Т.

Алгоритм у Mathcad

_{Алгоритм 1}

_або

Оскільки мала величина, то це є необхідною умовою застосовності даної моделі.

Перетворення масиву значень у масив

Індекс мінімального елемента масиву

Оптимальне значення при

_{Гарантійний запас}

_{Алгоритм 2}

Визначення двовимірного масиву значень функції для знаходження оптимальних значень і мінімального значення

Рис 5.1. Графік функції , представлений матрицею

_або

_{Оптимальний гарантійний запас}

Коментар. Оптимальна стратегія управління запасами за даною моделлю полягає у тому, щоб встановити період між перевірками рівня запасів рівним року або місяці і розміром фіктивного запасу одиниць. Оптимальний гарантійний запас одиниці. Мінімальні витрати на функціонування системи складуть грн.

Якщо вважати, що перевірки проводяться безкоштовно, тобто сума у 25 доларів витрачається тільки на оплату замовлення, то у даному прикладі можна провести порівняння розглядуваної тут -моделі і -моделі із розділу 4 (задача 4.1). Якщо для визначення оптимальних використати попередні значення то -модель дає такі результати оптимальний обсяг замовлення рівень фіктивного запасу при подачі замовлення на поповнення запасу Середній час між поставками складає року, або 2,2 місяця. Гарантійний запас Мінімальні витрати системи складають грн.

Ці результати показують, що для системи із періодичною перевіркою оптимальне дещо менше середнього часу між поставками у -моделі, у той час як гарантійний запас (51 одиниця) для першої моделі перевищує одиниць гарантійного запасу для випадку -моделі. Цей факт підтверджується і при співставленні будь-яких систем з періодичною перевіркою з -системами. Справа в тому, що у системі з періодичною перевіркою обсяг гарантійного запасу повинен забезпечувати функціонування системи протягом часу поставки і одного періоду, тоді як у випадку -системи – тільки протягом часу поставки. Це означає, що для -моделей обсяг гарантійного запасу буде більше. Одночасно з цим доводиться дещо частіше поповнювати запаси, зменшуючи тим самим середній рівень наявних запасів, що до деякої міри є компенсацією за додаткові витрати зберігання, які пов’язані із збільшенням гарантійного запасу. ▲