41. Асимптоты

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий

,

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если

Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

Модель 1.10. Асимптоты

Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика функции y = f (x) при x → +∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Так, график функции имеет вертикальную асимптоту x = 0, горизонтальную y = 3 (при x → –∞) и наклонную y = 2x + 7 (при x → +∞).

График 1.3.8.1. График функции

Прямая, задаваемая уравнением

в полярных координатах, является асимптотой графика функции r = r (φ) при условии, что

Эта прямая удалена от полюса на расстояние |d|, а перпендикуляр, опущенный на нее из полюса, составляет с полярной осью угол

42. Общий план исследования функции и построения графика.

1) Отыскивается область определения функции.

Исследование функции начинают с поиска области определения. Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена. При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения содержащие дроби, так как, знаменатель дроби не может обращаться в нуль. Следует обращать внимание на корни, так как, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Особое внимание следует обратить на логарифмы, входящие в выражение. Если функция содержит логарифм , то на область определения накладываются ограничения исходя из неравенств

.

2) Исследуем общие свойства функции: чётность; нечётность; периодичность. Функция называется чётной, если . График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Например, функция - чётная, так как . Функция называется нечётной, если . График функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Для примера рассмотрим функцию . Она нечётная, так как . Если функция ни чётная, ни нечётная, то говорят, что функция имеет график общего положения. Если существует такое, что для любого выполняется условие , то функция называется периодической. Наименьшее из чисел , удовлетворяющих указанному условию, называют периодом. График периодической функции строят так. Сначала строят график на одном периоде, а потом копируют построенный участок вдоль всей оси . Запись периодические функции, как правило, содержит тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3) Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Абсцисса пересечение с осью ищется исходя из уравнения . Ордината пересечение с осью ищется подстановкой значения в выражение функции Если пересечение с осью найти не удаётся, то обходятся без него. Обычно поиск пересечения с осью не представляет труда. 4) Исследуется непрерывность функции, находятся точки разрыва. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и существует предел , который равен значению функции. То есть

.

Функция называется непрерывной на промежутке (отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка (отрезка). График непрерывной функции может быть изображён без отрыва карандаша (мела, пера, ручки,…). Точка является точкой разрыва функции, если функция определена и непрерывна в окрестности точки , а в самой точке не является непрерывной (хотя может быть определённой). В этом случае говорят, что функция терпит разрыв в точке . Выделяют три типа точек разрыва: устранимый разрыв; конечный разрыв (разрыв первого рода); бесконечный разрыв (разрыв второго рода).