2)Математический маятник.

М атематическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая  , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения   и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α . Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения Момент силы относительно точки О:  , и момент инерции: M=FL .Угловое ускорение: . С учетом этих величин имеем: или Его решение , где   и  . Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Билет 3

1)Плоское движение твердого тела.

Плоское движение - это такое движение, при котором каждая точка твердого тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной в данной системе отсчета плоскости. Плоская фигура Ф, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Р,

в процессе движения все время остается в этой плоскости. Примером может служить цилиндр, катящийся по плоскости без скольжения.

     Положение твердого тела при плоском движении однозначно определяется положением плоской фигуры Ф в неподвижной плоскости Р. Это позволяет свести изучение плоского движения твердого тела к изучению движения плоской фигуры в ее плоскости. Пусть плоская фигура Ф движется в своей плоскости Р, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета К .

     Положение фигуры Ф на плоскости можно определить, задав радиус-вектор   произвольной точки О' фигуры и угол ( между радиус-вектором  , жестко связанным с фигурой, и некоторым фиксированным направлением. Тогда плоское движение твердого тела будет описываться двумя уравнениями:     

     Если за промежуток времени dt радиус-вектор   частицы А повернется на угол  , то на такой же угол повернется и любой отрезок,

связанный с фигурой, так как она есть сечение твердого тела.     Отсюда видно, что поворот фигуры на угол   не зависит от выбора точки  , следовательно и угловая скорость   фигуры тоже не зависит от выбора точки  , и мы имеем право называть   угловой скоростью всего твердого тела.

     Определим скорость   произвольной частицы А тела при плоском движении. Введем вспомогательную систему отсчета K', жестко связаннyю с точкой  тела и перемещающуюся поступательно относительно K-системы. Тогда малое перемещение   частицы А в системе К можно записать как сумму векторов: ,   

  где  - перемещение точки  , a   - перемещение точки А относительно системы K'. Перемещение   вызвано вращением тела вокруг неподвижной в K-системе оси, проходящей через точку  .   . После подстановки этого выражения и деления обеих частей предыдущего равенства на dt, получим    

,

(2.19)

 т. е. скорость произвольной частицы А твердого тела при плоском движении складывается из скорости   произвольной точки О' этого тела и скорости  вращения тела вокруг оси, проходящей через эту точку. Соотношение  справедливо и для произвольного сложного движения твердого тела. Заметим, что  - это скорость частицы А относительно поступательно движущейся системы отсчета, жестко связанной с точкой  .

     Итак, доказано, что плоское движение твердого тела можно представить как совокупность двух основных видов движения - поступательного (вместе с произвольной точкой   тела) и вращательного (вокруг оси, проходящей через точку  ). Так как кинематика - это геометрическое описание свойств движения тела, то для доказательства этого утверждения можно использовать известную теорему из геометрии, которая утверждает, что любое преобразование на плоскости, оставляющее фигуру неизменной, может быть представлено в виде комбинации параллельного переноса и вращения.

      Докажем, что плоское движение можно представить как чистое вращение. Действительно, при плоском движении скорость   произвольной точки   тела перпендикулярна вектору  , а это значит, что всегда есть такая жестко связанная с телом точка М, не обязательно принадлежащая телу, скорость которой   в данный момент. Из условия  можно найти радиус-вектор точки М :  _М относительно точки О'.

     Вектор   перпендикулярен векторам   и  , лежит в плоскости движения, а его модуль  . Точка М определяет положение оси вращения, совпадающей по направлению с вектором  . Движение твердого тела в данный момент времени представляет собой чистое вращение вокруг этой оси, которую называют мгновенной осью вращения. Положение мгновенной оси со временем меняется. Например, у катящегося по плоскости цилиндра мгновенная ось в каждый момент совпадает с линией касания цилиндра и плоскости.

В любой момент движения плоской фигуры (за исключением случая ее поступательного движения) на плоскости, связанной с фигурой,  существует точка, ускорение которой равно нулю.  Точку  эту называют мгновенным центром ускорений  (принятое сокращение - М.Ц.У.)   и обозначают на чертеже,  как правило,  буквой  Q.