2. Функції комплексної змінної

Кожному комплексному числу відповідає точка комплексної площини С. Якщо змінюється відповідно до тих чи інших умов, то в цьому випадку ми маємо справу з комплексними змінними . Всім значенням комплексної змінної , де , взаємно однозначно відповідає сукупність всіх точок площини С, яку називають площиною комплексної змінної . Комплексна площина, доповнена нескінченно віддаленою точкою , називається розширеною площиною комплексної змінної і позначається .

Нехай - множина точок комплексної площини. Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо досить малий окіл цієї точки повністю належить множині . Множина називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою для неї.

Проколеним -околом точки називають множини точок , які задовольняють нерівність і позначається .

Непорожня множина комплексної площини чи розширеної комплексної площини називається областю, якщо виконуються такі умови:

- вона відкрита, тобто разом з кожною своєю точкою містить деякий окіл цієї точки;

- вона зв’язна, тобто будь-які дві її точки можна сполучити деякою ламаною , всі точки якої належать цій множині .

Точка називається межовою точкою області , якщо в кожному її околі містяться точки, що належать і що не належать цій області.

Множина всіх межових точок області називається межею цієї області.

Якщо при русі вздовж межі область весь час залишається зліва, то такий напрям орієнтації межі називається додатним обходом.

Об’єднання області з її межею , називається замкненою областю (замиканням області ) і позначається .

Область, для якої будь-який замкнений контур, що повністю належить області, можна неперервно деформувати в точку, не виходячи за межі області називається однозв’язною. У протилежному випадку область називається багатозв’язною.

Нехай на множині комплексної площини визначена комплекснозначна функція комплексної змінної , тобто кожній точці поставлено у відповідність комплексне число . Цю функцію можна подати у вигляді , де , . Таким чином, комплекснозначну функцію комплексної змінної можна розглядати як пару дійсних функцій двох дійсних змінних. Наприклад, функція ставить у відповідність кожному комплексному числу число ; ця функція визначена у всій скінченій комплексній площині, а якщо покласти , то вона буде визначеною і у всій розширеній площині.

Функція комплексної змінної називається однозначною, якщо вона кожній точці ставить у відповідність лише одне значення .

Множину значень функції в точці називають образом точки при відображенні .

Основні елементарні функції комплексної змінної

• Показникова функція: .

• Тригонометричні функції: ,

, .

• Гіперболічні функції: .

• Логарифмічна функція:

де - головне значення функції .

• Загальна степенева функція: ,

де - головне значення функції.

• Загальна показникова функція:

де - головне значення функції.

Приклад

Знайти вирази для дійсної та уявної частин функції .

Розв’язування:

.

Звідки