Нормальний закон розподілу

Випадкова величина Х має нормальний (гаусівський) закон розподілу ймовірностей, якщо її щільність розподілення ймовірностей має вигляд

(5)

де а = М(Х), σ = σ(Х). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і σ і називається загальним. Загальний нормальний закон позначують: N(а;σ).

Так, наприклад, N(-2;4) – загальний нормальний закон із значенням параметрів а=-2, σ=4.

Тоді (6)

Графіки f(x), F(x) для загального нормального закону залежно від параметрів а і σ зображені на рис. 1 і 2.

Рис. 1

Із рис. 2 бачимо, що графік F(x) є не спадною функцією, оскільки f(x)=F^’(x)>0 і, як буде доведено далі, F(а)=0,5.

Рис. 2

Якщо а = 0 і σ = 1, то нормальний закон називають нормованим, або стандартним (гаусовим) розподіленням, щільність якого дорівнює

(7)

А функція розподілення

(8)

є функцією Гаусса Ф(Х).

Теорема Нехай Х – випадкова величина, що має нормальний закон розподілу з параметрами а та σ. Ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення яке належить скінченному інтервалу (α; β), дорівнює різниці між значеннями фунції Лапласа Ф(Х) у точках та :

Р(α<Х<β) = Ф – Ф (9)

З формули (9) легко отримати ймовірність віхилення розподілення випадкової величини Х від свого математичного сподівання а:

Р( ) = 2Ф (10)

де ε – це величина відхилення.

Якщо в формулі (10) припустити, що ε = 3σ, отримаємо

Р( ) = 2Ф = 2∙0,49865 = 0,9973.

Цей результат носить назву «правило трьох сигм».

Таким чином, в 99,7% випадках всі значення нормального розподілу випадкової величини скупчені в інтервалі (- ). З практичної точки зору цей факт є дуже зручним: розподілення, що задається на нескінченному інтервалі, може розглядатися на скінченному інтервалі, і похибка при такій заміні складатиме 0,3%.

Приклад 2. На станку виготовляють деяку деталь. Її довжина являє собою випадкову величину, розподілену по нормальному закону, і має середнє значення 20 см і средне квадратичне відхилення 0,3 см. Знайти ймовірність того, що довжина деталі буде міститися у проміжку від 19,7 до 20,3 см.

Розв'язання. По формулі Р(α<Х<β) = Ф – Ф ,

де α = 19,7, β = 20,3, σ = 0,3, а = 20 маємо

Р(19,7<Х<20,3) = Ф – Ф = Ф(1) – Ф(-1) = Ф(1) + Ф(1) = 2Ф(1) =

= 0,6826 або 68%.

Відповідь: ймовірність того, що довжина деталі буде міститися у проміжку від 19,7 до 20,3 см дорівнює 68%.

Приклад 3. Визначити середне квадратичне відхилення показань приладу, якщо систематичних помилок він не має, а випадкові помилки розподілені по нормальному і з ймовірністю 0,79 не виходять за межі ±20 мм.

Розв'язання. Нехай Х – помилка показань приладу.

За умовою задачі Р( ) = 0,79 з формули Р( ) = 2Ф отримаємо

2Ф = 0,79 → Ф = 0,395 за даними таблиці (значення ф.Лапласа)

= 1,25 → ε = 20 → → σ = (мм).

Відповідь: середне квадратичне відхилення показань приладу складає (мм).

Математичні закони теорії ймовірностей одержані внаслідок формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Під час спостереження масових однорідних подій у них виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого числа проведених експериментів відносна частота події W(A) виявляє стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності P(A); середнє арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її математичного сподівання.

Усі ці явища об’єднують під спільною назвою закону великих чисел, який можна загалом сформулювати так: у разі великого числа експериментів, що здійснюються для вивчення певної випадкової події або випадкової величини, середній їх результат практично перестає бути випадковим і може передбачатися з великою надійністю

Закон великих чисел об’єднує кілька теорема, у кожній з яких за певних умовах виявляється факт наближення середніх характеристик під час проведення великої кількості експериментів до певних невипадкових, сталих величин.