3. Методи математичного програмування

Методи математичного програмування охоплюють методи лінійного та динамічного програмування.

Методи лінійного програмування (транспортна задача, задача оптимального розкрою, задача оптимальної суміші та інші) використо­вують для розв’язку багатьох оптимізаційних аналітичних задач, де функціональні залежності досліджуваних явищ і процесів детерміновані.

У задачах лінійного програмування повинні виконуватись три основні умови:

Умова 1. Обмеженість ресурсів:

, і = 1,…m,

де аij – норматив витрати і-го ресурсу на зміну j-го параметру

досліджуваного об’єкта;

хj – значення j-го параметру досліджуваного об’єкта;

bi – ліміт і-го ресурсу.

Умова 2. Невід’ємність зміни значень j-го параметру досліджу­ва­ного об’єкта:

, j = 1,…n.

Умова 3. Критерій оптимізації зміни досліджуваного об’єкта:

де сj – кількісна оцінка значущості зміни j-го параметра на один

пункт.

Основні аналітичні результати при застосуванні методів лінійного програмування досягаються у тому, що визначаються потенціальні можливості зміни будь-якого параметра досліджуваного об’єкта, а також резерви нереалізованих можливостей. Задачі лінійного програмування успішно розв’язують на базі створеного програмного забезпечення роботи ЕОМ.

Методи динамічного програмування використовують при розв’язку оптимізаційних задач, у яких цільова функція або обмеження характеризуються нелінійними залежностями. Ці методи використовують під час дослідження стохастичних факторних систем. Задачі динамічного програмування розв’язують шляхом поетапного вирішення певної кількості оптимізаційних задач, диференційованих за лінійними формами. Як і у випадку розв’язку задач лінійного програмування використовують спеціальне програмне забезпечення роботи ЕОМ.

4. Економетричні (матричні) методи.

Матричні методи та моделі економічного аналізу ґрунтуються на лінійній і векторно-матричній алгебрі, їх використовують при дослідженні складних і великорозмірних економічних структур. Найпоширеніша в аналізі є матрична модель міжгалузевого балансу, матриця багатокритеріальної оптимізації, ключова матриця та інші.

Модель міжгалузевого балансу є важливим методом економічного аналізу складних пропорційних залежностей, коли за кількістю виміряних прямих зв’язків визначається вся сукупність зв’язків (прямих і непрямих). Наприклад, продуктова матрична модель міжгалузевого балансу має вигляд:

,

,

де X – матриця сукупного виробництва продукції;

Y – матриця сукупного кінцевого споживання продукції;

А – матриця прямих витрат ресурсів на виробництво продукції;

Е – одинична матриця.

Для будь-якого і-го продукту буде виділене рівняння типу:

.

В економічному аналізі модель міжгалузевого балансу використовують для розрахунку технологічних нормативів, внутрігосподарських виробничо-технологічних розрахунків, аналізу збалансованості виробництва, калькулювання собівартості продукції тощо. Розв’язують задачі типу міжгалузевого балансу з використанням спеціального програмного забезпечення ЕОМ.

Матрицю багатокритеріальної оптимізації використовують в економічному аналізі як метод порівняльної, рейтингової оцінки варіантів можливих змін параметрів економічної системи на багатокритеріальній основі. За формою це одинична матриця з виділенням у ній заданої кількості критеріїв порівняння (табл. 1).

Таблиця 1

Матриця багатокритеріальної оптимізації діяльності підприємства

Критерії	Максимум випуску продукції	Мінімум витрат на виробництво	Максимум прибутку
Абсолютний макси­мум випуску продукції	1	31	П1
Абсолютний мінімум витрат виробництва	В1	1	П2
Абсолютний максимум прибутку	В2	32	1

Матриця може бути збільшена залежно від кількості введених критеріальних ознак. Наприклад, мінімум витрат може бути за відсутності обмежень на використання певних видів сировини, максимальний випуск – за різних обмежень асортименту товарів. За пріоритетними критеріями може бути проведений рейтинг оптимальних результатів, наприклад, за значенням прибутку на 1 грн. витрат.

Метод ключової матриці дає змогу спростити розв’язок задач методом виробничих функцій. Він полягає у тому, що вся система функціональних зв’язків (детермінованих і стохастичних) у досліджуваному об’єкті аналізу максимально агрегується до утворення детермінованих факторних систем. Алгоритм факторної системи будують за участю коефіцієнтів міжелементного зв’язку, а деякі з них не мають чіткої економічної інтерпретації (наприклад, витрата сировини в розрахунку на одного робітника за зміну) (табл. 2).