Задание 3.

Принятие решения в условиях риска (вероятностной определенности).

Рассматривается постановка задачи принятия хозяйственных решений при различных внешних условиях, с использованием математической модели принятия решений теории игр.

Содержательная постановка задачи.

На туристической фирме можно реализовывать туры трех видов (А₁, А₂, А₃), не выполнение одного из туров ведет к увеличению затрат фирмы. Для предупреждения этого можно провести перед началом работы фирмы проверку туров и замену невыгодного тура. Если проверен и заменен не тот тур, то фирма несет убытки R_i который существенно превышает расходы на проверку и замену тура.

Требуется принять решение – выбрать оптимальную стратегию реализации туров, исходя из условия минимума убытка фирмы.

Пусть платежная матрица в зависимости от стратегии реализации туров имеет вид таблицы 1 и задана вариантом задания.

Таблица 1

		Виды туров (стратегии природы)
		В1	В2	В3
Проверка, замена и реализация туров (стратегия реализации)	А1	11	0	2
	А2	8	7	9
	А3	3	10	18

При решении задачи необходимо:

1.Используя методы теории игр, определить имеет ли игра решение в чистых стратегиях.

2.Если игра не имеет решения в чистых стратегиях, то решить её в смешанных стратегиях, используя эквивалентность матричной игры двух игроков задаче линейного программирования, для решения использовать программу Excel (надстройка «Поиск решения»)

3.Привести экономический анализ принятого решения из оптимальной таб-лицы и определить активные стратегии действий фирмы по реализации туров, дающие минимальные затраты.

Определяются нижняя α и верхняя β цены игры:

α = max min a_ij = max (0,7, 3) = 7

β = min max a_ij = min (11, 10, 18) = 10

Получается, что α # β, значит игра не может быть решена в чистых стратегиях и следует найти решение игры в смешанных стратегиях.

Строится экономико-математическая модель игры для игрока А:

Найти вектор Х = (х₁, х₂, х₃) удовлетворяющий ограничениям

1. 11х₁ + 8х ₂+ 3х₃ ≥ γ,

7х₂ + 10х₃ ≥ γ,

3х₁ + 10х₂ + 18х₃ ≥ γ.

2) х₁ ≥ 0 х₂ ≥ 0 х₃ ≥ 0

3) L(Х) = х₁ + х₂ + х₃ = γ → max,

где через х₁, х₂, х₃ обозначены вероятности применения игроком А своих стратегий А₁, А₂, А₃, а через γ обозначена цена игры.

Для решения задачи преобразуется система ограничений 1), для этого

вводятся обозначения х₁^{^} =х₁/ γ , х₂^{^} = х₂/ γ, х₃^{^} = х₃/ γ и делятся обе части выражения 1) на γ , получается экономико-математическая модель игры для игрока А в в следующем виде:

11х₁^{^} + 8х₂^{^} + 3х₃^{^} ≥ 1

4) 7х₂ ^{^} + 10х₃^{^} ≥ 1

2х₁^{^} + 9х₂^{^} + 18х₃^{^} ≥ 1

5) х₁^{^} ≥ 0 х₂^{^} ≥ 0 х₃^{^} ≥ 0

6) L(Х^) = х₁^{^} + х₂^{^} + х₃^{^} = 1/γ → min

Затем преобразуются неравенства системы ограничений 4) в неравенства вида (≤ ), для этого умножается каждое неравенство вида (≥) на (-1) получится система ограничений 7)

-11х₁^{^} - 8х₂^{^} - 3 х₃^{^} ≤ -1,

7) - 7х₂^{^} - 10х₃^{^} ≤ -1,

-2х₁^{^} -9х₂^{^} - 18х₃^{^} ≤ -1.

Для решения задачи используется программа Excel (надстройка «Поиск решения»). Оптимальное решение получается в таблице 2

Таблица 2

Стратегии	В1	В2	В3	Вычисленные значения	Заданные ограничения
А1	-11	-8	-3	-1	-1
А2	0	-7	-10	-1	-1
А3	-2	-9	-18	-1,491525424	-1
Целевая функция	1	1	1	0,13559322
Результат	0	0,119	0,017

Из таблицы следует результат решения х₁^{^} = 0, х₂^{^} = 0,119, х₃^{^} = 0,017, и 1/γ = 0,1356

Определяются исходные переменные х₁, х₂, х₃ , которые будут равны:

х₁ = х₁^{^} γ = 0, х₂ = х₂^{^} γ = 0,119 * 7,375 = 0,88, х₃ = х₃^{^} γ = 0,017* 7,375 = 0,12,

а затраты будут минимальные и равные L(Х) = 0,1356

Таким образом, из оптимального решения следует, что стратегию А₂ следу-ет применять с вероятностью 0,88, а стратегию А₃ с вероятностью 0,12. Стра-тегию А₁ применять не рекомендуется.