1 Вариант:

2 Вариант:

Пример 2.

П ример 3.

3. Метод замены переменной

Если непрерывна и функция непрерывна вместе со своей производной, то справедлива формула .

Правило подстановки.

Чтобы вычислить интеграл

а) заменяем какой-нибудь обратимой функцией находим

б) вычисляем полученный интеграл;

в) в найденном ответе производим обратную замену на .

Пример 1.

.

Пример 2.

.

П ример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Замечание: подбирать выгодные подстановки можно научиться тренировкой. Существуют стандартные подстановки для некоторых типов интегралов.

Интегралы вида:

и легко интегрируются подстановкой

Пример 6.

.

Пример 7.

4. Метод интегрирования по частям

Пусть и - непрерывно дифференцируемые функции, тогда имеет место равенство

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Ее смысл состоит в том, что нахождение интеграла сводится к отыскания другого интеграла , который либо проще исходного, либо подобен ему. Иногда интегрирование по частям приходится применять несколько раз в одной задаче.

Ч тобы не ошибиться в составлении правой части формулы, используйте схему:

Перечислим некоторые типы интегралов, в которых следует применять метод интегрирования по частям.

I тип

где - многочлен,

в схеме:

Пример 1.

Пример 2.

II тип

где - многочлен,

в схеме:

Пример 3.

Пример 4.

III тип (Особые, так называемые «циклические» интегралы)

и т.д.,

где

Алгоритм решения

1) Применить формулу интегрирования по частям один или два раза, пока не получится интеграл, такой же как данный;

2) этот интеграл обозначить за I;

3) решить полученное уравнение относительно неизвестной I;

4) в конце выражения приплюсовать константу С.

Пример 5.

Пример 6.

2 ) пусть

4) .

5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен

Интегралы вида и лучше всего вычислять следующими двумя способами.

I способ.

1) в выражении выделить полный квадрат:

2) заменить выражение, стоящее в скобках под квадратом, на новую переменную t, выразить x, найти :

3) подставить данные в исходный интеграл и упростить его;

4) разбить полученный интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых решается подведением переменной t под знак дифференциала, а второй - табличный;

5) сделать обратную замену.

Пример 1.

Пример 2.

II способ.

1) найти производную выражения половину этой производной заменить на новую переменную t, выразить x, найти :

2) подставить полученные данные в исходный интеграл и упростить его;

3) разбить интеграл на сумму двух, один из которых решается подведением переменной t под знак дифференциала, а другой – табличный;

4) сделать обратную замену.

Пример 3.