9.2. Дағдарыс күшті анықтау. Эйлер формуласы.

Шеттері топсалы (біреуі – қозғалмайтын, екіншісі қозғалатын) тіректермен бекітілген ұзындығы l түзу сызықты бойлай сығылып, серпімді деформацияланып сәл ғана иілген сырық үшін дағдарыс күшті анықтау есебін қарастырайық. Бұл есепті алғашқы рет Л.Эйлер қойып, шешкен.

Сығушы күш дағдарыс күшке жеткенде қатаңдығы ең кіші EI_min жазықтықта иіледі. Июші момент

M=-F_KP y.

Сырықтың иілген өсінің дифференциалдық теңдеуі

EI_minyʹʹ=-F_кр y (а)

немесе

yʹʹ+k²y=0,

мұндағы .

Бұл теңдеудің шешуі

y=Bcoskz+Csinkz.

Мұндағы интегралдау тұрақтылары В және С сырықтың бекітілу шарттарынан

z=0, y=0; z=l, y=0

анықталады. Бірінші шарт бойынша B=0. Екінші шарт бойынша Csinkl=0. Есептің бастапқы шартына сәйкес C≠0, олай болса sinkl=0, яғни kl=nπ. Онда .

Сығылған сырық орнықтылығын ең кіші қатаңдық жазықтығында жоғалтады, сондықтан I=I_min.

Практика жүзінде дағдарыс күштің ең кіші (нольден өзгеше) мәнін білу қажет. Дағдарыс күш n=1 болғанда өзінің ең кіші мәніне ие болады

. (9.1)

Бұл формуланы Эйлер формуласы деп атайды.

Сырықтың ұштары басқа тіректермен бекітілген жағдайларда да дағдарыс күшті серпімді сызықтардың теңдеулерін осы тәсілмен интегралдап анықтауға болады. Ұштарының бекіту шарттары әр түрлі сырықтар үшін дағдарыс күші жалпыланған Эйлер формуласымен анықталады

, (9.2)

мұндағы μ – сырықтың ұштарын бекіту тіректерінің түрлеріне байланысты қабылданатын, ұзындықты келтіру коэффициенті. Мәндері анықтамалықтарда келтірген.

9.3.Эйлер формуласын қолдану шегі. Ясинский формуласы.

Эйлер формуласын қолданып дағдарыс күшті (дағдарыс кернеуді) сырық тек серпімді деформацияланғанда, яғни сырықтағы кернеу пропорционалдық шектен σ_пц аспаған жағдайда ғана анықтауға болады. Бұл жағдайда дағдарыс кернеу

немесе , (9.3)

мұндағы – сырықтың иілгіштігі, – сырық қимасының ең кіші инерция радиусы, I_min және A – оның ең кіші инерция моменті мен ауданы.

Сырықтың иілгіштігі λ – оның өлшемдері мен бекітілу шарттарына тәуелді өлшем бірліксіз шама.

Демек, Эйлер формуласы қолдану шегі σ_кр ≤ σ_пц шартынан анықталады

.

Кернеу пропорционалдық шекке тең болатын иілгіштіктің мәні

9.4)

шектік иілгіштік делінеді. Ол тек қана материалдың қасиеттеріне тәуелді. Осыдан Эйлер формуласының қолдану шегі

λ ≥ λ_пр (9.5)

болатынын көреміз.

Сырықтағы кернеу пропорционалдық шектен асқан жағдайда (σ_кр > σ_пц) Эйлер формуласын қолдануға болмайды. Бұл жағдайда (λ < λ_пр) дағдарыс күшті Ф.С.Ясинскийдің эмпирикалық формуласын қолданып барып, анықтауға болады.

σ_кр=a-bx, F_кр= σ_крA, (9.6)

мұндағы a,b – сырықтың материалына байланысты алынатын коэффициенттер, өлшем бірліктері МПа, тәжірибе жүзінде анықталады. Әр түрлі материалдар үшін олардың мәндері анықтауыштарда келтірілген. Мысалы, болат Ст.3 үшін a=310 МПа, b=1.

Сырықтарды иілгіштік мәніне байланысты келесідей ажыратады.

λ < λ₀ – иілгіштігі кіші сырықтар. Мұндай сырықтар (жуан, қысқа) беріктігін жоғалғанда істен шығады (қирайды немесе үлкен пластикалық деформациялар пайда болады). λ₀ – бастапқы иілгіштік (Ст.3 λ₀=40÷50).

λ₀ < λ < λ_пр – иілгіштігі орташа сырықтар. Дағдарыс кернеу Ясинский формуласымен анықталады σ_кр=a-bx, ал F_кр= σ_крA.

λ >λ_пр – иілгіштігі үлкен сырықтар. Дағдарыс күші Эйлер формуласымен анықталады , ал .

Эйлер және Ясинский формулалары иілгіштіктің барлық мәндерінде сығылған сырықтардың орнықтылығын есептеуге мүмкіндік береді.