26. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть функция f(x) интегрируема по a,b. Тогда, в силу уже доказанного, f(x) будет интегрируема по  отрезку вида [a,x^’], где a<x^’ b, Введем в рассмотрение на a,b функцию (х)=_a^хf(t)dt, D(f)=a,b. Функция (х) называется интегралом с переменным верхним пределом. Предложение1: Функция (х) непрерывна в каждой точке отр. a,b. Фиксируем произвольную точку x₀ из a,b. Пусть h- произвольное число такое, что x₀+ha,b. Оценим величину (x₀+h)-(x₀)=_a^bf(t)dt-_a^x0f(t)dt=_a^x0f(t)dt+_x0^x0+hf(t)dt-_a^x0f(t)dt=_x0^x0+hf(t)dt. Ф-я f(x) интегрируема по a,b, поэтому она ограничена на отрезке a,b. А потому она ограничена и на отрезке с концами x₀ и x₀+h. Очевидно, что m  m^’ M^’ M. В силу формулы среднего, найдется число , удовлетворяющее неравенству: m^’   M^’, и такое, что _x0^x0+hf(t)dt =(x₀+h-x₀)= h. Поэтому, (x₀+h)-(x₀)= h =  h  max{m, M}h. Поэтому lim(h→0)((x₀+h)-(x₀))=0, т.е. (х) непрерывна в точки x_0. Предложение2: Пусть функция f(x) интегрируема по a,b и пусть она непрерывна в точке x₀a,b. Тогда f(x) дифференцируема в точке x₀, причем ^’(x₀)=f(x₀). Доказательство: При доказательстве непрерывности было установлено соотношение: (x₀+h)-(x₀)= h, где m^’   M^’, а M^’ и m^’ – точные верхняя и нижняя грани f(x) на отрезках с концами x₀ и x₀+h. Считая, что h0, получаем, что (x₀)/h=((x₀+h)-(x₀))/h= (1). Фиксируем произв. >0, поскольку f(x) непрерывна в точке x₀, то найдется >0 такое, что для xa,b, удовлетворяющего неравенству x-x₀ , будет верно: f(x)-f(x₀) /2. Возьмем теперь произвольное h такое, что 0h, x₀+ha,b.

Тогда x из отрезков с концами x₀ и x₀+h будет верно: f(x)-f(x₀) /2, а потому и неравенство: f(x)-/2 f(x) f(x₀)+/2 (2). Из (2) , что f(x₀)-/2 m^’ M^’ f(x₀)+/2 (3). Из (3) получаем, что f(x₀)-/2   f(x₀)+/2, т.е. -f(x₀)/2 (4). Из соотношений (1) и (4) , что (x₀)/h-f(x₀). последнее неравенство выполняется для h, 0h и x₀+ha,b. Поэтому  конечный предел lim(h→0)(x₀)/h=f(x₀). Поэтому ^’(x₀)=f(x₀), чтд. Предположим теперь, что f(x) непрерывна на a,b xa,b, тогда ^’(x)=f(x), т.е. (х)=_a^хf(t)dt – является первообразной для f(x). Т.о.  непрерывная на отрезке a,b функция имеет первообразную. Одной из таких первообразных является функция (х). Заметим, что в интеграле, определяющем функцию (х) в качестве нижнего предела интегрирования, можно было бы взять  точку pa,b, т.е. рассматривать функцию (х)=_p^хf(t)dt, при этом все свойства (х) сохраняются. Пусть теперь f(x) непрерывна на (a,b). Фиксируем произвольную точку p(a,b), тогда функция (х)=_p^хf(t)dt – будет первообразной для f(x) на (a,b). Пусть f(x) непрерывна на a,b, а (х) дифференцируема на отрезке [c,d] и пусть x[c,d] выполняется условие: a (х)  b. Рассмотрим функцию F(x)=((х))=_a^(х)f(t)dt, x[c,d]. Тогда F^’(x)=^’((х))^’(х)= f((х))^’(х), x[c,d]. Можно рассмотреть и интегралы с переменным нижним пределом: (х)=_x^bf(t)dt(=-_x^bf(t)). В этом случае, ^’(x)=-f(x). При прежних условиях на (х), функция F(x)=_^b_(х) f(t)dt, x[c,d] дифференцируема и F^’(x)= -f((х))^’(х), x[c,d]. Можно рассмотреть и функцию F(x)=_{ (х)}^(х)f(t)dt, a (х), (х)  b, x[c,d]. можно записать, что F(x)=_^a_(х) f(t)dt+)=_a^(х)f(t)dt. В этом случае, когда  и  дифференцируемы на [c,d] и выполняется соотношение: F^’(x)= f((х))^’(х)-f((х))^’(х).