1.2 Средства для проведения работы:

- Персональный компьютер;

- Программное обеспечение.

1.3 Исходные данные

№	N	n1	n2	S1	S2	C	M1	M2	β1	β2
п/п	шт.	шт.	шт.	ДЕ/час		ДЕ	шт.	шт.	%	%
13	1600	36	25	3	2	0,4	10	6	95	93

2. Задача расчета оптимальной численности отдела технического контроля предприятия

2.1 Постановка задачи

В отделе технического контроля (ОТК) некоторой фирмы работают контролеры разрядов 1 и 2. Норма выработки группой контролеров ОТК за 8-ми часовой день составляет не менее N изделий. Контролер разряда 1 проверяет n₁ изделий в час, причем не ошибается в β₁% случаев. Контролер разряда 2 проверяет n₂ изделий в час, его точность составляет β₂%.

Заработная плата контролера 1 разряда равна S₁ денежных единиц (ДЕ) в час, контролер 2 разряда получает S₂ ДЕ в час. При каждой ошибке контролера предприятие несет убыток в размере C ДЕ. Предприятие может использовать М₁ контролеров 1 разряда и М₂ контролеров 2 разряда. Определить оптимальный состав ОТК, при котором общие затраты на контроль будут минимальны.

2.2 Разработка математической модели оптимизации

Пусть х₁ и х₂ – количество контролеров разряда 1 и 2, соответственно (независимые переменные). Число контролеров каждого разряда ограничено. т.е. имеются следующие областные ограничения:

Ежедневно необходимо проверять не менее N изделий. Поэтому модель функционирования описывается неравенством:

При построении целевой функции следует иметь в виду, что расходы фирмы, связанные с контролем, включают две составляющие:

- зарплату контролеров;

- убытки, вызванные ошибками контролеров.

Расходы на одного контролера разряда 1 составляют:

Расходы на одного контролера разряда 2 составляют:

Следовательно, минимизируемая целевая функция Z, выражающая ежедневные расходы на контроль, имеет вид

Для конкретных числовых данных, N=1600 шт.; n₁=36 шт.; n₂=25 шт.; S₁=3 ДЕ/час; S₂=2 ДЕ/час; С=0,4 ДЕ; М₁=10 шт.; М₂=6 шт.; β₁=95 %; β₂=93% целевая функция примет вид

или

а модель функционирования может быть представлена следующим образом:

или

Тогда математическая модель оптимизации может быть представлена в виде:

минимизировать

при ограничениях:

3. Решение задачи оптимизации

3.1 Решение задачи оптимизации графическим методом

При решении задачи оптимизации структуры ОТК в рамках СМК мы имеем задачу линейного программирования с двумя переменными.

Графический метод решения задачи хорошо иллюстрирует основные понятия, используемые при решении задач линейного программирования:

допустимое решение – точка, для которой выполняются все ограничения;

допустимая область – множество всех допустимых решений;

оптимальное решение – лучшее допустимое решение в допустимой области.

Для изображения (рис.1) допустимой области начертить графики всех ограничений. Все допустимые решения лежат в первом квадранте, поскольку значения переменных неотрицательны. В силу ограничения все допустимые решения (х₁,х₂) задачи располагаются по одну сторону от прямой, описываемой уравнением . Прямую удобно провести, соединяя пару точек: х₁ =10; х₂ = 0 и х₁ = 10; х₂ = 6.

На рисунке допустимая область ограничена линиями, соединяющими точки ABCD. Ясно, что в допустимой области содержится бесконечное число искомых точек. Нужно найти искомую точку с наименьшим значением Z.

Находим координаты точек:

A (х₁ = 10; х₂ = 0);

B (х₁ = 10; х₂ = 6);

C (х₁ = 1,39; х₂ = 6);

D(х₁ = 5,5;х₂ = 0);

Если заранее зафиксировать значение целевой функции , то соответствующие ему точки будут лежать на некоторой прямой. При изменении величины Z эта прямая подвергается параллельному переносу. Рассмотрим прямые, соответствующие различным значениям Z, имеющие с допустимой областью хотя бы одну общую точку. Начальное значение Z положим равным 257.

1 шаг:

2 шаг:

При приближении прямой к началу координат значение Z уменьшается. Если прямая имеет хотя бы одну общую точку с допустимой областью ABC, ее можно смещать в направлении начала координат. Ясно, что для прямой, проходящей через точку С с координатами х₁ = 1,39; х₂ = 6, дальнейшее движение не возможно. Точка С представляет собой наилучшую допустимую точку, соответствующую наименьшему значению . Следовательно, х₁ = 1,39; х₂ = 6 – оптимальное решение и Z = 170,9 ДЕ – оптимальное значение рассматриваемой задачи.

Дробное значение х₁ = 1,39 соответствует использованию одного из контролеров разряда 1 в течение неполного рабочего дня. При недопустимости неполной загрузки контролеров дробное значение обычно округляют, получая приближенное оптимальное целочисленное решение

х₁ = 1; х₂ = 6.

Решение х₁ = 1; х₂ =6 – единственная допустимая точка с минимальным значением Z. Другими словами, значения Z, соответствующие другим допустимым решениям, больше 170,9. В силу этого решение

х₁ =1,39; х₂ = 6 называется единственным оптимальным значением.

На рис.1 представлено графическое решение задачи.

Рис. 1 Графическое решение задачи