1.2 Решение контрольной работы №1

Определим разрядную сетку. Расчет числа разрядов представления входных данных, операндов и выходных данных специализированной МПС выполняется из условия обеспечения заданной допустимой среднеквадратической погрешности σ_i.доп решения задач каждого i-го типа.

Максимальные значения функций f₁ и f₂ (b₁ = 30, b₂ = 10, b₃ = 20):

f_1max: (x₂(x₁²+x₃)) = 10 · (30² + 20) = 9200;

f_2max: (x₁x₂x₃) = 30 · 10 · 20 =6000.

Абсолютные значения погрешностей:

σ_доп1 = |y₁|_maxδ_доп1/100 = f₁(30,10,20) · 0,45/100 = 41,4;

σ_доп2 = |y₂|_maxδ_доп2/100 = f₂(30,10,20) · 0,3/100 = 18.

Методическая погрешность, обусловленная приближенным характером алгоритма и численного метода, реализующего алгоритм вычисления f_i:

σ_м1 = |y₁|_maxδ_м/100 = f₁(30,10,20) · 0,09/100 = 8,28;

σ_м2 = |y₂|_maxδ_м/100 = f₂(30,10,20) · 0,09/100 = 5,4.

Абсолютная погрешность датчиков:

σ_дат1 = |x₁|_maxδ_дат/100 = b₁·0,25/100 = 30 · 0,25/100 = 0,075;

σ_дат2 = |x₂|_maxδ_дат/100 = b₂ · 0,25/100 = 10 · 0,25/100 = 0,025;

σ_дат3 = |x₃|_maxδ_дат/100 = b₃ · 0,25/100 = 20 · 0,25/100 = 0,05.

Для оценки трансформированной погрешности найдем частные производные. Для функции трех переменных f₁ = x₂(x₁²+x₃) = x₁²x₂ + x₂x₃ производные:

df₁/dx₁ = (x₁²x₂ + x₂x₃)′_x1 = 2x₁^2-1x₂ + 0 = 2x₁x₂;

df₁/dx₂ = (x₁²x₂ + x₂x₃)′_x2 = x₁²·1 + 1·x₃= x₁² + x₃;

df₁/dx₃ = (x₁²x₂ + x₂x₃)′_x3 = 0 + 1·x₃ = x₃.

Для функции трех переменных f₂ = x₁x₂x₃ частные производные:

df₂/dx₁ = (x₁x₂x₃)′_x1 = 1· x₂x₃ = x₂x₃;

df₂/dx₂ = (x₁x₂x₃)′_x2 = x₁· 1· x₃ = x₁x₃;

df₂/dx₃ = (x₁x₂x₃)′_x3 = x₁x₂ · 1 = x₁x₂.

Обозначим d₁₁ = df₁/dx₁, d₁₂ = df₁/dx₂, d₁₃ = df₁/dx₃, d₂₁ = df₂/dx₁, d₂₂ = df₂/dx₂, d₂₃ = df₂/dx₃.

Для получения математических ожиданий d₁₁, d₁₂, d₁₃, d₂₁, d₂₂ и d₂₃ предположим, что входные аргументы x₁,…,x₃ распределены независимо и равномерно в интервалах 0  x₁  b₁, 0  x₂  b₂ и 0  x₃  b₃. С помощью программы, использующей генератор случайных чисел с равномерным распределением, или непосредственным вычислением находим значение интегралов вида:

Математическое ожидание d₁₁:

Математическое ожидание d₁₂:

Математическое ожидание d₁₃:

Математическое ожидание d₂₁:

Математическое ожидание d₂₂:

Математическое ожидание d₂₃:

Уменьшить погрешность датчиков _дат.j обычно труднее, чем погрешность АЦП _АЦП.j. Для ослабления ее влияния на общую погрешность _j задания аргументов выберем погрешность АЦП по формуле

_АЦП.j = _j _дат.j,

где 0 < _j  0,5.

Тогда: _j² = _дат.j ² + _АЦП.j² = _дат.j ²(1+ _j²) и, если принять ₁=₂=₃= , получим соотношение:

_Т.i²= (1+ ²) _j _дат.j ² М ²[d_ij].

С учетом требования _Т.i² + _м.i²  _доп.i², можно получить условие для выбора ²:

² < (_доп.i² - _м.i²)/ _j _дат.j ² М ²[d_ij] − 1.

Для функции f₁:

_{1 1-3} _дат.1-3 ² М ²[d_{1 1-3} ] = 0,075² · 100² + 0,025² · 150² + 0,05² · 15² = 70,9.

₁² < (_доп.1² − _м.1²)/ _{1 1-3} _дат.1-3 ² М ²[d_{1 1-3} ] − 1,

₁² < (41,4² – 8,28²)/70,9 − 1,

₁² < 22.

Примем ₁ = ₂ = ₃ = 0,5. Тогда:

_АЦП.1= ₁ _дат.1 = 0,5 · 0,075 = 0,0375,

_АЦП.2 = ₂ _дат.2 = 0,5 · 0,025 = 0,0125,

_АЦП.3 = ₃ _дат.3 = 0,5 · 0,05 = 0,025,

_Т.1²  (1+ ₁²) _j _дат.j ² М ²[d_1j]  (1 + 11)·70,9  851.

Для функции f₂:

_{2 1-3} _дат.1-3 ² М ²[d_{2 1-3} ] = 0,075² · 75² + 0,025² · 150² + 0,05² · 50² = 52.

₂² < (_доп.2² − _м.2²)/ _{2 1-3} _дат.1-3 ² М ²[d_{2 1-3} ] − 1,

₂² < (18² – 5,4²)/ 52 − 1,

₂² < 5.

Примем ₁ = ₂ = ₃ = 0,5. Тогда:

_АЦП.1= ₁ _дат.1 = 0,5 · 0,075 = 0,0375,

_АЦП.2 = ₂ _дат.2 = 0,5 · 0,025 = 0,0125,

_АЦП.3 = ₃ _дат.3 = 0,5 · 0,05 = 0,025,

_Т.2²  (1+ ₂²) _j _дат.j ² М ²[d_2j]  (1 + 4)·52  260.

Предполагая, что _А.j  _вх.j и, следовательно, , находим:

0,0265,

По формуле n_вх.j =N(b_j, _вх.j ) определяем разрядность всех АЦП (функция N(x,w), выражает число разрядов двоичного числа для представления непрерывной величины x с размером кванта w:

N(x,w)=]log₂(x/w +1)[,

где ][ – округление до ближайшего большего целого).

n_вх.1= N(30; 0,0265 ) =]log₂(30/(0,0265 · ) +1)[ = 9,

n_вх.2= N(10; 0,0088 ) =]log₂(10/(0,0088 · ) +1)[ = 9,

n_вх.3 = N(20; 0,0177 ) =]log₂(20/(0,0177 · ) +1)[ = 9.

По справочнику выбираем конкретный тип АЦП и, следовательно, уточняем значения n_вх.j и _АЦП.j. В [5, стр. 18, табл. 7] приведено несколько вариантов АЦП. Выберем АЦП КР572ПАI с числом разрядов n_вх = 10.

Введем функцию W(x,n), выражающую размер кванта при замене непрерывной величины x n-разрядным двоичным числом: W(x,n) = x / (2ⁿ – 1).

Для оценки погрешности округлений и расчета разрядности операционного устройства примем l_окр.1 = 1, l_окр.2 = 2 (число умножений при вычислении f₁(x₁, x₂, x₃) = x₂(x₁²+x₃), f₂(x₁, x₂, x₃) = x₁x₂x₃).

Инструментальная погрешность:

_и.i² = _окр.i² + _вых.i²,

где _окр.i – погрешность округления;

_вых.i – погрешность представления данных на выходе цифровой части ЭВМ.

Погрешность симметричного округления оценивается по формуле

_окр.i²= w_оп.i² (l_окр.i /12),

где l_окр.i – число округлений;

w_оп.i – вес младшего разряда операндов в единицах выходной величины y_i. Вес младшего разряда операндов:

w_оп.i = W(y_i_max, n_оп.i).

Разрядность n_оп.i операндов определяется разрядностью АЛУ микроЭВМ и выбранным вариантом программной реализации арифметических операций. Конкретные значения n_оп.i могут выбираться, например, из условия их кратности 8. Положим, что n_оп.1 = n_оп.2 = 8:

w_оп.1 = W(f₁(x₁, x₂, x₃), n_оп.1) = W(f₁(30, 10, 20), 8) = 9200 / (2⁸ – 1) = 36,1.

w_оп.2 = W(f₂(x₁, x₂, x₃), n_оп.2) = W(f₂(30, 10, 20), 8) = 6000 / (2⁸ – 1) = 23,5.

_окр.1² = w_оп.1² (l_окр.1 /12) = 36,1² · (2 /12) = 217,2.

_окр.2² = w_оп.21² (l_окр.2 /12) = 23,5² · (1 /12) = 46,21.

Условие:

²_окр.1 < ²_доп.1 − ²_м.1 − ²_т.1,

²_окр.1 < 41,4² – 8,28² – 851,

217 < 794,4 − выполняется,

²_окр.2 < ²_доп.2 − ²_м.2 − ²_т.2,

²_окр.2 < 18² – 5,4 ² – 260,

46,21 < 34,8 − не выполняется.

Положим, что n_оп.2 = 10:

w_оп.2 = W(f₂(x₁, x₂, x₃), n_оп.2) = W(f₂(30, 10, 20), 10) = 6000 / (2¹⁰ – 1) = 5,9.

_окр.2²= w_оп.21² (l_окр.2 /12) = 5,9² · (1 /12) = 2,9.

Условие 2,9 < 34,8 выполняется. Следовательно, можно принять n_оп.1 = 8, n_оп.2 = 10.

Принимая σ_вых1 ≈ σ_доп1 = 41,4 и σ_вых2 ≈ σ_доп2 = 18, определим ориентировочное значение разрядности ЦАП для симметричного округления результатов расчета (учитываем, что 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256):

n_вых.i =N(f _i (30, 10, 20), 41 ),

n_вых.1 =N(f ₁ (30, 10, 20), 41 ) = ]log₂(9200/(41 ) +1)[ = ]log₂(65,8)[ = 7,

n_вых.2 =N(f ₂ (30, 10, 20), 41 ) = ]log₂(6000/(41 ) +1)[ = ]log₂(43,2)[ = 6.

В [5, стр. 18, табл. 8] приведено несколько вариантов ЦАП. Выберем ЦАП К1107ПВ2 с числом разрядов n_вых = 8 (n _вых1 = n _вых2 = 8). Так как n _вых1 = n_оп.1, σ²_и.1 = _окр.1² = 217. С учетом того, что n _вых2 ≠ n_оп.2:

_и.2² = _окр.2² + _вых.2² = 2,9 + 18² = 326,9.

Величину погрешности ЦАП можно принять:

σ_цап.1 ≈ W(y₁_max, n_вых.1)/ = W( f₁ (30, 10, 20), 8)/ =

= (9200/(2⁸ – 1))/ = 10,4;

σ_цап.2 ≈ W(y₂_max, n_вых.2)/ = W( f₂ (30, 10, 20), 8)/ =

= (6000/(2⁸ – 1))/ = 6,7.

Таким образом получаем:

²_т.1 + ²_и.1 + σ² _цап.1 = 851 + 217 + 10,4² = 1176 < (σ²_доп.1=1714);

²_т.2 + ²_и.2 + σ² _цап.2 = 260 + 326,9+ 6,7² = 631,7 < (σ²_доп.2=324).

Результаты выбора неудовлетворительны. Выберем по [5, стр. 18, табл. 8] микросхему КIIII3ПВI с n _вых2 = 10 (n _вых2 = n_оп.2), _вых.2 = 0, _и.2² = _окр.2² = 2,9:

²_т.2 + ²_и.2 + σ² _цап.2 = 260 + 2,9+ 6,7² = 307,8 < (σ²_доп.2=324).

С новым значением n _вых2 = 10 результаты выбора удовлетворительны.