Задача 5.1

Цель. Обеспечение заданной надежности системы с резервом меньшим проектного.

Важной особенностью структурного резервирования является то, что в начальный период эксплуатации совсем не обязательно, чтобы были полностью смонтированы и подсоединены все резервные элементы. Такие ситуации возможны в практике строительства предприятий (к примеру, недопоставка в срок необходимого по проекту количества машин или аппаратов).

В предыдущей задаче необходимо было удержать показатель надежности выше 0,96 в течение 10 000 ч.

Однако ясно, что обеспечить такую надежность в течение 5000 ч можно при меньшем числе резервных элементов.

Компрессорная станция представляет собой систему компрессоров (см. рисунок 4.1), состоящую из группы компрессоров низкого давления (КНД) и группы компрессоров высокого давления (КВД).

Компрессоры низкого давления характеризуются интенсивностью отказов ₁=2,2·10^-5 1/ч., компрессоры высокого давления - интенсивностью отказов ₂=1,0·10^-5 1/ч.

Расчеты показали, что надежность системы не будет ниже P_{c min дoп.}=0,96 в течение всего времени эксплуатации t=10 000 ч. при условии, что в группе компрессоров низкого давления будет 2 агрегата, в группе компрессоров высокого давления - 3 агрегата (n₁=2, n₂=3).

Требуется определить, можно ли пустить компрессорную станцию в эксплуатацию при задержке поставки одного компрессора высокого давления и сможет ли она проработать 5000 ч с меньшим резервом (т.е. при n₁=2, n₂=2), но при условии, что общая надежность не снизится и будет больше P_{c min дoп.}=0,96.

Резервирование считать упрощенно как нагруженное.

Решение

1) Произведем расчет надежности для системы n₁=2, n₂=2 при t = 5000 ч по уравнению

Р_i(t) = e^-i·t. (5.1)

Найдем значения надежности для групп компрессоров низкого давления Р₁ и высокого давления Р₂ для t = 5000 ч:

- для КНД

Р₁(5 000) = e^-1·t = = 0,90;

- для КВД

Р₂(5 000) = e^-2·t = = 0,95.

2) Найдем значение надежности компрессорной станции - системы компрессоров низкого и высокого давлений для t = 5000 ч:

Р_с = [1-(1-Р₁)²] · [1-(1-Р₂)²] = 0,99 · 0,9975 = 0,988.

0,988 > 0,96.

Вывод.

Таким образом, данную систему можно принять в работу при двух компрессорах в каждой группе (n₁=2, n₂=2) на 5000 часов работы, ее надежность не достигнет минимального допустимого значения P_{c min дoп.}=0,96. Задержку поставки еще одной машины в данном конкретном случае можно разрешить.

Задача 5.2

Цель. Достижение наибольшей надежности системы с заданной стоимостью.

При проектировании сложных систем часто возникают не только задачи создания схем, обеспечивающих необходимый уровень надежности при минимальных затратах на ее создание, но и задачи построения схем наибольшей надежности на выделенные средства.

Пусть необходимо спроектировать компрессорную станцию, представляющую собой систему компрессоров (см. рисунок 4.1), состоящую из группы компрессоров низкого давления (КНД) и группы компрессоров высокого давления (КВД).

Компрессоры низкого давления характеризуются интенсивностью отказов ₁=2,2·10^-5 1/ч., компрессоры высокого давления - интенсивностью отказов ₂=1,0·10^-5 1/ч.

Требуется выбрать комбинацию наибольшей надежности за заданное время t=10 000 ч., которую можно осуществить, затратив фиксированные ассигнования S=8 д. ед.

Стоимость компрессора низкого давления – С₁=1 денежных единиц, компрессора высокого давления - С₂=3 денежных единиц.

Резервирование считать упрощенно как нагруженное.

Решение

1) Определить стоимости возможных комбинаций (таблица 5.1)

В таблице 5.1 стоимость С_i группы компрессоров определяется в зависимости от числа элементов n_i в группе

С_i = С_i · n_i .

На пересечении строк и столбцов (см. таблица 5.1) определяется стоимость S компрессорной станции в зависимости от числа элементов n_i в группах

S = С₁ + С₂.

Таблица 5.1 - Стоимости возможных комбинаций

Стоимость С2 группы КВД в зависимости от числа элементов n2 в группе		Стоимость С1 группы КНД в зависимости от числа элементов n1 в группе
		1	2	3	4	5
		С1 = 1 Р1=0,8	С1 = 2 Р1=0,96	С1 = 3 Р1=0,992	С1 = 4 Р1=0,998	С1 = 5 Р1=0,999
1	С2 = 3 Р2=0,9	4 Рс=0,72	5 Рс=0,86	6 Рс=0,89	7 Рс=0,898	8 Рс=0,899
2	С2 = 6 Р2=0,99	7 Рс=0,79	8 Рс=0,95	9 Рс=0,98	10 Рс=0,99	11 Рс=0,99
3	С2 = 9 Р2=0,999	10 Рс=0,80	11 Рс=0,96	12 Рс=0,99	13 Рс=0,99	14 Рс=0,99

2) Выбрать оптимальную комбинацию по критерию наибольшей надежности

Из таблицы 5.1 видно, что имеются две комбинации, соответствующие выделенным средствам S=8 д. ед.:

- n₁=2, n₂=2, причем значение надежности системы для этой комбинации 0,950 (из таблицы 8.2);

- n₁=5, n₂=1, значение надежности будет ниже 0,9, ибо один элемент группы КВД характеризуется надежностью 0,9, а он является сомножителем в определении надежности всей системы.

Кроме того, весьма наглядно по таблице 5.1 можно наблюдать закономерность повышения показателя надежности системы от величины затраченных средств.

Итак, поскольку Р_с1=0,95 > Рс₂=0,899, то выбираем комбинацию наибольшей надежности за заданное время t=10 000 ч, а именно первую комбинацию с n₁=2, n₂=2.

3) Построить график в системе координат «затраты – надежность» (рисунок 5.3).

Линии на графике - это числовые значения по строчкам из таблицы 5.1.

Рисунок 5.3 - Графики затраты – надежность:

1 - n₂=1; 2 - n₂=2; 3 - n₂=3

Вывод

Наибольшая надежность (Р_с=0,95) в течение 10 000 ч эксплуатации системы заданной стоимостью S=8 д. ед. достигается при наличии в системе 2 компрессоров низкого давления и 2 компрессоров высокого давления.

График «затраты – надежность», показывает, что увеличение капитальных вложений от 6 до 7 денежных единиц дает очень малый прирост надежности, а от 7 до 8 - значительную прибавку.