Многоканальная смо с отказами

Если в момент поступления требования нет свободных обслуживающих каналов (т.е. заняты все каналы, так как в системе уже находится n требований), то требование покидает систему не обслуженным. Все состояния системы приведены на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Граф состояний для многоканальной СМО с отказами

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – один канал занят, остальные свободны;

S₂ – два канала заняты, остальные свободны;

S_k – k каналов занято, остальные (n-k) свободны;

S_n – все n каналов заняты.

Для расчета многоканальных систем массового обслуживания с отказами воспользуемся формулами Эрланга. Входящий поток требований подчиняется пуассоновскому закону с интенсивностью , а время обслуживания – показательному с интенсивностью .

Вероятность наличия в системе k требований:

(3.11)

где - вероятность отсутствия требований в системе,

- приведенная интенсивность потока.

(3.12)

Вероятность потери требования (отказа) соответствует вероятности наличия в системе n требований, когда все n каналов заняты

(3.13)

Относительная пропускная способность

. (3.14)

Абсолютная пропускная способность

(3.15)

Среднее количество заявок, находящихся в системе, соответствует среднему числу занятых каналов и определяется по формуле

. (3.16)

Одноканальная смо с ожиданием

Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием приводится на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Граф состояний для одноканальной СМО с ожиданием

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – один канал занят, очереди нет;

S₂ –канал занят, одна заявка в очереди;

…

S_k – канал занят, k-1 заявка в очереди;

S_m+1 – канал занят, m заявок в очереди.

Вероятности состояний

(3.17)

Характеристики системы:

(3.18)

Среднее число заявок, находящихся в очереди

(3.19)

Среднее число заявок, находящихся в системе (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании)

(3.20)

Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе соответственно

(3.21)

Одноканальная смо с неограниченным временем ожидания.

Вероятности состояний СМО с неограниченным числом мест в очереди можно получить предельным переходом (при ) из формул (3.8)  (3.11). Это возможно, если Тогда

(3.22)

При отсутствии ограничений по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему будет обслужена, поэтому Среднее число заявок в очереди и в системе соответственно при

(3.23)

Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе

(3.24)

Многоканальная смо с ожиданием

Рассмотрим n-канальную СМО с ожиданием (интенсивность потока заявок ; интенсивность обслуживания , число мест в очереди m). Состояния системы (рис. 3.4) следующие:

Рис. 3.6. Граф состояний для многоканальной СМО с ожиданиями

S₀ - все каналы свободны;

S₁ – занят один канал, остальные свободны;

….

S_n – занято n каналов;

S_n+1 – занято n каналов, одна заявка в очереди;

S_n+m – занято n каналов, m заявок в очереди.

Вероятности состояний:

(3.25)

Показатели системы:

(3.26)

Среднее число занятых каналов и заявок в очереди соответственно

(3.27)

Обозначив получим

(3.28)