Билет 11

1.

Координатная часть волновой функции обращается в ноль в граничных точках ψ(0) = 0 и ψ(а) = 0.

Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного состояния, которое в одномерном случае для области внутри ямы примет вид . Если ввести обозначение ,то уравнение имеет решение в виде . Для поиска значений постоянных А и α поставляем граничные условия, для поиска значения А используем условие нормировки. Тогда .

Значения энергии частицы зависят от номера n. Целое число n, определяющее значение энергии частицы называется главным квантовым числом. Энергия частицы в бесконечно глубокой яме принимает дискретные значения, или, как

говорят, квантуется. Состояние частицы с минимальным значением энергии (n=1) называется основным состоянием. Остальные состояния (для n>1) – возбужденными.

Найдем вектор плотности вероятности для частицы в яме .

Т.к. задача одномерная, то , где . Из вещественности решения следует, что , т.е. вероятность нахождения частицы в яме не изменяется.

2.

3.

Совокупность (различных) состояний, в которых частица имеет одинаковое значение энергии, называется вырожденным состоянием. Количество таких состояний (для одного и того же значения энергии) называется кратностью вырождения уровня энергии. Если кратность уровня энергии равна единице, то говорят, что уровень эне

Билет 12

1.

Частица массы m находится в трёхмерной области, за пределы которой она проникнуть

не может. Внутри области нет потенциальной энергии (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области на частицу действует бесконечно большая возвращающая сила. Т.к. частица не может выйти из ямы, то волновая функция частицы вне ямы равна нулю. Координатная часть волновой функции обращается в ноль в граничных точках.

Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного состояния, которое в трёхмерном случае для области внутри ямы примет вид

Решение ищем в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной из координат

Исходное уравнение от трех переменных распадается на три одномерных уравнения. Решая их с учётом граничных условий как в предыдущем случае, получаем решения

. Выражение для энергии

Совокупность (различных) состояний, в которых частица имеет одинаковое значение энергии, называется вырожденным состоянием. Количество таких состояний (для одного и того же значения энергии) называется кратностью вырождения уровня энергии. Если кратность уровня энергии равна единице, то говорят, что уровень энергии не вырожден.

2.

3.

Состояние микрочастицы, характеристики её движения, взаимодействия с другими частицами и т.д. полностью задаётся функцией, которую называют волновой функцией и обозначают Ψ (пси-функция). Если частица может находиться в одном состоянии и

может находиться в другом состоянии, то она может находиться и в состоянии, являющимся суперпозицией этих состояний.

Статистический смысл волновой функции. dP - вероятность того , что частица находится в некоторой малой области пространства, объём которой dV, определяется равенством .

Т.е. квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности нахождения частицы в некоторой области пространства. Поэтому для нахождения вероятности того, что частица находится в некоторой области V надо вычислить интеграл

. Следовательно, если частица не может находиться в области V, то интеграл равен нулю, если обязательно находится – одному.

Билет 13.

1. Одномерный потенциальный порог: (I) и (II).

Решение уравнений Шредингера для стационарного состояний имеет вид:

и , где и волновые функции частицы в областях I и II соответственно.

и .

Вероятность того что частицы отразится от порога определяется коэфф.

Вероятность прохождения частицы:

П отенциальный барьер. Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U₀. Рассмотрим случай E< U₀ , тогда (1) для области I и III

Для того, чтобы найти коэффициенты отражения R и прохождения D частицы через порог, найдем векторы плотности потока вероятности для падающей, отраженной и прошедшей волн де Бройля.

; ; .

фициент отражения частицы от низкого потенциального порога с учетом вышеприведенных формул:

Из такого результата следует, что при Е>U₀ существует отличная от нуля вероятность отражения частицы от низкого потенциального порога, т.е. возможно надбарьерное отражение. Этот результат является чисто квантовым и объясняется наличием у частицы волновых свойств. Макроскопическая частица при прохождении через порог просто уменьшит свою кинетическую энергию.

Коэффициент прохождения частицы через порог:

Таким образом, в случае низкого порога R+D=1, что естественно было ожидать с точки зрения сложения вероятностей.

2. , где n – уровень, m – масса электрона.

[эВ]=1,6*10^(-19)[Дж] //Все в СИ

2. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

Суть формулы заключается в том, что энергия фотона расходуется на ионизацию атома вещества и на работу, необходимую для «выбивания» электрона, а остаток переходит в кинетическую энергию электрона.

Билет 14.

1 .Потенциальный барьер. Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты U₀. Рассмотрим случай E< U₀ , тогда (1) для области I и III,

(2), для области II, причем E – U₀ < 0.

Найдем решения уравнения (1) в виде . Подставляя получим: => , где . Таким образом решение уравнения (1) имеет вид:

для области I

для области III

для области II, где .

Заметим, что решение вида соответствует волне распространяющейся в положительном направлении оси x, а решение вида — в противоположном.

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо => .

Для того чтобы была непрерывна, должно выполняться условие

и .

Д ля того чтобы не имела изломов, должно выполняться условие

и .

Причем - коэф. отражения.

– коэф. прохождения.

Из уравнений, получившихся из условия непрерывности и гладкости пси-функции, находим

т.е. вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьеры и от его превышения над .

В случае произвольной формы . При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через туннель в этом барьере — туннельный эффект.

2. => и =>

3. Поглощательная способность тела называется отношение поглощенного потока излучения к падающему потоку:

Коэффициент поглощения безразмерная величина, изменяющаяся от нуля до единицы и зависящая от длины волны, температуры, вещества и состояния поверхности тела.

Эта величина описывает способность тела поглощать излучение. Например, АЧТ имеет . Примером АЧТ на практике является малое отверстие в большой полости, стенки которой равномерно нагреты.

Билет 15.

1. Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора. Энергетический спектр гармонического осциллятора.

Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси x под действием возвращающей квазиупругой силы F=-kx . Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид , где - собственная частота классического гармонического => Квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной яме => . Волновые функции, являющиеся решением уравнения, будут непрерывными и конечными не при всех значениях выражения , а лишь при , n=0,1,2,3…

Энергетические уровни гармонического осциллятора являются эквидистантными, т.е. расположены на одинаковом расстоянии друг от друга .