2 Определение амплитуд колебаний, реакций опор и изгибающих моментов в сечениях вала
При проектировании машин и аппаратов, имеющих в основе своей конструкции быстровращающиеся валы, важной задачей является расчет вынужденных изгибных колебаний вала при стационарном и нестационарном режимах вращения.
2.1 Стационарный режим вращения
Рассмотрение вынужденных изгибных колебаний вала при стационарном режиме вращения позволяет решить следующие вопросы:
1) рассчитать амплитуды колебаний вала при рабочей скорости вращения, построить форму упругой линии вала, выбрать необходимые зазоры между вращающимися и неподвижными деталями машин (для жестких валов);
2) определить углы поворота опорных сечений вала и реакции опор при рабочих скоростях вращения, что необходимо для правильного конструктивного оформления подшипниковых узлов. Следует отметить, что для определения реакций опор вала при рабочей скорости вращения иногда прибегают к решению задачи статики от действующих центробежных сил инерции, возникающих из-за неуравновешенности сосредоточенных масс. Такой подход может привести к большой погрешности, если величины центробежных сил инерции от неуравновешенности распределенной массы вала сопоставимы с центробежными силами инерции от неуравновешенности сосредоточенных масс. В случае гибкого вала решение задачи статики является принципиально ошибочным, так как в закритической области вращения векторы эксцентриситетов неуравновешенных масс меняют знак на противоположный, а форма упругой линии вала, как правило, является сложноизогнутой;
3) найти напряжения, возникающие в наиболее опасных сечениях вала, и решить вопрос о прочности и надежности вала, поскольку наиболее опасными в смысле динамической и усталостной прочности являются стационарные устойчивые колебания.
2.1.1 Метод решения
При рассмотрении стационарного режима вращения валов переменного сечения наиболее целесообразно использовать метод начальных параметров /5/. Силы трения при этом во внимание не принимаются, так как при устойчивом вращении вала закритической области внутреннее трение не ограничивает амплитуды вынужденных колебаний, вызываемых неуравновешенностью вала и закрепленных в нем сосредоточенных масс, а внешнее трение способствует лишь уменьшению амплитуд колебаний вала /1,3,5/.
При выводе уравнения
неуравновешенного вала вводится
неподвижная система координат
и система координат
,
неизменно связанная с валом как с жёстким
телом (рисунок 8); ось
направляется по оси неизогнутого вала.
Неуравновешенность вала характеризуется
двумя функциями абсциссы
:
расстоянием
центра тяжести поперечного сечения до
оси 
и углом
между
вектором эксцентриситета и плоскостью
.
Аналогичными параметрами
и
определяется статическая неуравновешенность
сосредоточенных масс, их динамическая
неуравновешенность не учитывается.
Относительно
характера движения вала предполагается,
что при вращении вал изгибается в
плоскости эксцентриситетов и в изогнутом
состоянии вращается вокруг оси
с рабочей угловой скоростью
.
Дифференциальное уравнение вынужденных изгибных колебаний -го участка вала под действием сил неуравновешенности записывается в виде /5/:
(2.1)
где
- амплитуда колебаний вала,
Рисунок 8 – Схема неуравновешенного вала
Общее решение дифференциального уравнения (2.1)
где
комплексные постоянные интегрирования;
частное решение,
(2.2)
здесь
.
При проектировании,
как правило, необходимо знать
максимально-возможные прогибы, углы
поворота, реакции опор и изгибающие
моменты, действующие в наиболее опасных
сечениях вала. Ввиду этого естественно
предположить худший, возможный случай,
когда эксцентриситеты распределенных
и сосредоточенных масс вала лежат в
одной плоскости и направлены в одну
сторону, то есть
.
Если к тому же принять, что неуравновешенность
вала на каждом его участке изменяется
по линейному закону, то есть
- постоянный коэффициент, определяемый
экспериментально, то частное решение
(2.2) запишется в виде:
для
которого
Общее решение уравнения (2.1) тогда окончательно запишется:
(2.3)
Дифференцируя общее решение последовательно по , получим
Пусть в результате
рассмотрения условий закрепления левого
конца вала
неизвестные постоянные интегрирования
нулевого участка вала. Используя условия
сопряжения между участками, постоянные
интегрирования всех последующих участков
вала выражаются через
.
Если на границе двух участков находится
диск с массой
(см. рисунок 1, б), то условия сопряжения
между участками записываются в виде
где
Начальные параметры и определяются из двух граничных условий на правом конце вала. После определения и находятся постоянные интегрирования всех участков вала и далее прогибы, углы поворота, реакции опор и изгибающие моменты в любом сечении вала.
2.1.2 Вывод расчетных зависимостей
В качестве примера рассмотрим вывод расчетных зависимостей для вала, схема которого приведена на рисунке 9. Вал разбивается на участки: нулевой, первый и второй.