3 Проведение экспериментов
3.1 Метод Гаусса-Зайделя.
Из начальной точки (2; -2; 1; 2) с у=108,60 ищем минимум критерия оптимальности по переменной х1. Используем прием последовательного сканирования, т.е. «шагаем» до первого лучшего значения критерия, применяя алгоритм х1i+1=х1i ± h.Знак «+» или «-» выбирается в зависимости от направления изменения критерия: нужно взять такой знак, при котором критерий уменьшается.
При измерении выходной величины пользуемся средствами измерения с разным диапазоном, поэтому значения получаем с разной точностью.
В начальной точке определим оценку дисперсии. Для получения результата проведем 4 эксперимента
,
Таблица №1
Первый цикл, шаг =1
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
2 |
-2 |
1 |
2 |
108,76 |
|
2 |
3 |
-2 |
1 |
2 |
200,50 |
Ухудшение, уменьшаем x1 |
3 |
1 |
-2 |
1 |
2 |
87,96 |
Улучшение |
4 |
0 |
-2 |
1 |
2 |
70,19 |
|
5 |
-1 |
-2 |
1 |
2 |
56,05 |
|
6 |
-2 |
-2 |
1 |
2 |
44,72 |
|
7 |
-3 |
-2 |
1 |
2 |
103,19 |
Ухудшение, оставляем x1=-2 |
8 |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
33,54 |
|
9 |
-2 |
-2 |
1 |
2 |
44,70 |
Ухудшается, оставляем x2=-1 |
10 |
-2 |
-1 |
2 |
2 |
36,52 |
|
11 |
-2 |
-1 |
0 |
2 |
32,40 |
|
12 |
-2 |
-1 |
-1 |
2 |
33,56 |
Ухудшение, оставляем x3=0 |
13 |
-2 |
-1 |
0 |
3 |
37,61 |
Ухудшение, уменьшим x4 |
14 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
29,28 |
|
15 |
-2 |
-1 |
0 |
0 |
28,53 |
|
16 |
-2 |
-1 |
0 |
-1 |
29,50 |
Ухудшение, оставляем x4=0 |
На данном этапе цикл 1, при шаге h=1, заканчивается, лучшая точка имеет координаты (-2; -1; 0; 0), значение критерия у=28,53
На следующем этапе изменяем шаг h до 0,5 для того, чтобы уточнить координаты найденной точки и значение критерия.
Таблица №2
Второй цикл, шаг=0,5
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
-2 |
-1 |
0 |
0 |
28,53 |
|
2 |
-2,5 |
-1 |
0 |
0 |
45,86 |
Ухудшение, увеличим х1 |
3 |
-1,5 |
-1 |
0 |
0 |
13,20 |
Улучшение |
4 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
20,00 |
Ухудшение, оставляем х1=-1,5 |
5 |
-1,5 |
-1,5 |
0 |
0 |
30,07 |
Ухудшение, увеличим х2 |
6 |
-1,5 |
-0,5 |
0 |
0 |
17,74 |
Хуже, чем лучшее (13,20), оставляем х2 =-1 |
7 |
-1,5 |
-1 |
0,5 |
0 |
13,37 |
|
8 |
-1,5 |
-1 |
1 |
0 |
14,10 |
Ухудшение, уменьшаем х3 |
9 |
-1,5 |
-1 |
-1 |
0 |
14,13 |
Ухудшение, оставляем х3 =0 |
10 |
-1,5 |
-1 |
0 |
0,5 |
13,39 |
|
11 |
-1,5 |
-1 |
0 |
1 |
14,18 |
Всё равно ухудшение, оставляем х4=0 |
Лучшая точка получилась с координатами (-1,5; -1; 0; 0) и критерием оптимальности у=13,20.
В цикле 3 возьмем шаг h= 0,1, тем самым уточним полученное значение критерия у.
Таблица №3
Третий цикл, шаг=0,1
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
-1,5 |
-1 |
0 |
0 |
13,20 |
|
2 |
-1,6 |
-1 |
0 |
0 |
13,46 |
Ухудшение, увеличиваем х1 |
3 |
-1,4 |
-1 |
0 |
0 |
14,16 |
Всё равно ухудшается, оставляем x1=-1,5 |
4 |
-1,5 |
-1,1 |
0 |
0 |
14,35 |
Ухудшение, увеличиваем х2 |
5 |
-1,5 |
-0,9 |
0 |
0 |
14,52 |
|
6 |
-1,5 |
-0,8 |
0 |
0 |
17,16 |
Ухудшение, оставляем х2=-1 |
7 |
-1,5 |
-1 |
-0,1 |
0 |
13,14 |
Улучшение |
8 |
-1,5 |
-1 |
-0,2 |
0 |
13,24 |
Ухудшение, попробуем увеличить |
9 |
-1,5 |
-1 |
0,1 |
0 |
13,18 |
Хуже, чем лучшее (13,14) на данный момент,оставляем х3=-0,1 |
10 |
-1,5 |
-1 |
-0,1 |
0,1 |
13,22 |
Ухудшение, уменьшим х4 |
11 |
-1,5 |
-1 |
-0,1 |
-0,1 |
13,12 |
Улучшение |
12 |
-1,5 |
-1 |
-0,1 |
-0,2 |
13,19 |
Ухудшение |
13 |
-1,5 |
-1 |
-0,1 |
-0,3 |
13,28 |
Всё равно ухудшается, оставляем х4=-0,1 |
Таким образом, получили точку (-1,5; -1;-0,1; -0,1) с критерием у=13,12. На этом этапе эксперимент может быть завершен, т.к. не наблюдается изменение критерия оптимальности и ни по одной из переменных не удается получить лучшее значение, значит, данная точка является решением поставленной задачи.
Для того чтобы определить является ли найденный экстремум локальным или глобальным возьмем новую начальную точку и заново проведем весь поиск.
Таблица №4
Первый цикл, шаг=1
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
-1 |
0 |
4 |
2 |
33,14 |
|
2 |
-2 |
0 |
4 |
2 |
49,02 |
Ухудшение, увеличим х1 |
3 |
0 |
0 |
4 |
2 |
37,27 |
|
4 |
1 |
0 |
4 |
2 |
49,26 |
|
5 |
2 |
0 |
4 |
2 |
81,52 |
|
6 |
3 |
0 |
4 |
2 |
170,54 |
При увеличении х1 происходит ухудшение, оставляем х1=-1 |
7 |
-1 |
1 |
4 |
2 |
42,14 |
|
8 |
-1 |
2 |
4 |
2 |
83,86 |
При увеличении х2 происходит ухудшение, уменьшаем х2 |
9 |
-1 |
-1 |
4 |
2 |
40,08 |
|
10 |
-1 |
-2 |
4 |
2 |
70,85 |
Ухудшение, оставляем х2=0 |
11 |
-1 |
0 |
3 |
2 |
26,24 |
Улучшение, продолжаем уменьшать х3 |
12 |
-1 |
0 |
2 |
2 |
21,09 |
|
13 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
18,16 |
|
14 |
-1 |
0 |
0 |
2 |
17,05 |
|
15 |
-1 |
0 |
-1 |
2 |
18,16 |
|
16 |
-1 |
0 |
-2 |
2 |
21,15 |
Началось ухудшение, оставляем х3=0 |
16 |
-1 |
0 |
0 |
3 |
22,09 |
|
17 |
-1 |
0 |
0 |
4 |
29,08 |
При увеличении х4 происходит ухудшение, уменьшаем х4 |
18 |
-1 |
0 |
0 |
2 |
17,01 |
|
19 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
14,12 |
|
20 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
13,08 |
|
21 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
14,04 |
Началось ухудшение |
22 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
17,08 |
Оставляем x4=0 |
На данном этапе цикл 4, при шаге h=1, заканчивается, лучшая точка имеет координаты (-1; 0; 0; 0), значение критерия у=13,08. На следующем этапе изменяем шаг h до 0,5 для того, чтобы уточнить координаты найденной точки и значение критерия.
Таблица №5
Второй цикл, шаг=0,5
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
13,08 |
|
2 |
-1,5 |
0 |
0 |
0 |
16,93 |
|
3 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
29,03 |
Ухудшение, увеличиваем х1 |
4 |
-0,5 |
0 |
0 |
0 |
13,94 |
Ухудшение, оставляем x1=-1 |
5 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,09 |
Улучшение |
6 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
20,03 |
|
7 |
-1 |
-1,5 |
0 |
0 |
25,15 |
Ухудшение, оставляем х2=-0,5 |
8 |
-1 |
-0,5 |
0,5 |
0 |
11,33 |
|
9 |
-1 |
-0,5 |
1 |
0 |
12,10 |
Ухудшение, уменьшаем х3 |
10 |
-1 |
-0,5 |
-0,5 |
0 |
11,33 |
|
11 |
-1 |
-0,5 |
-1 |
0 |
12,02 |
Ухудшение, оставляем х3=0 |
12 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
11,27 |
|
13 |
-1 |
-0,5 |
0 |
1 |
12,10 |
Ухудшение, уменьшим х4 |
14 |
-1 |
-0,5 |
0 |
-0,5 |
11,32 |
|
15 |
-1 |
-0,5 |
0 |
-1 |
12,03 |
Ухудшение, оставляем x4=0 |
Лучшая точка получилась с координатами (-1; -0,5; 0; 0) и критерием оптимальности у=11,09.
В цикле 6 возьмем шаг h= 0,1, тем самым уточним полученное значение критерия у.
Таблица №6
Третий цикл, шаг=0,1
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,09 |
|
2 |
-1,1 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,68 |
Ухудшение |
3 |
-1,2 |
-0,5 |
0 |
0 |
12,63 |
Ухудшение, увеличим х1 |
4 |
-0,9 |
-0,5 |
0 |
0 |
10,90 |
|
5 |
-0,8 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,10 |
Ухудшение |
6 |
-0,7 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,52 |
Ухудшение, оставляем х1=-0,9 |
7 |
-0,9 |
-0,6 |
0 |
0 |
12,35 |
Ухудшение |
8 |
-0,9 |
-0,7 |
0 |
0 |
14,15 |
Ухудшение, увеличиваем х2 |
9 |
-0,9 |
-0,4 |
0 |
0 |
10,08 |
|
10 |
-0,9 |
-0,3 |
0 |
0 |
9,90 |
Улучшение |
11 |
-0,9 |
-0,2 |
0 |
0 |
10,35 |
Ухудшение |
12 |
-0,9 |
-0,1 |
0 |
0 |
11,44 |
Ухудшение, оставляем х2=-0,3 |
13 |
-0,9 |
-0,3 |
-0,1 |
0 |
9,85 |
Улучшение |
14 |
-0,9 |
-0,3 |
-0,2 |
0 |
9,93 |
Ухудшение |
15 |
-0,9 |
-0,3 |
-0,3 |
0 |
9,98 |
Ухудшение, увеличиваем х3 |
16 |
-0,9 |
-0,3 |
0,1 |
0 |
9,83 |
Улучшение |
17 |
-0,9 |
-0,3 |
0,2 |
0 |
9,94 |
|
18 |
-0,9 |
-0,3 |
0,3 |
0 |
9,97 |
Ухудшение, оставляем х3=0,1 |
19 |
-0,9 |
-0,3 |
0,1 |
-0,1 |
9,90 |
|
20 |
-0,9 |
-0,3 |
0,1 |
-0,2 |
9,94 |
Ухудшение, увеличиваем х4 |
21 |
-0,9 |
-0,3 |
0,1 |
0,1 |
9,88 |
|
22 |
-0,9 |
-0,3 |
0,1 |
0,2 |
9,93 |
Ухудшение, оставляем х4=0 |
Таким образом, получили точку (-0,9; -0,3;0,1; 0) с критерием у=9,83.
После проведения экпериментов с начальной точкой с координатами
(-1,5; -1;-0,1; -0,1) получили критерий оптимальности у=13,12; однако взяв вторую точку получили точку и проведя эксперимент, получили критерий оптимальности у=9,83, заметно отличающийся от критерия у= 13,12. Поэтому для того, чтобы подтвердить, что вторая точка является оптимальной возьмём третью точку с произвольными координатами (-1; 2; -1; 1) и проведём эксперимент с ней.
Таблица №7
Первый цикл, шаг=1
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
-1 |
2 |
-1 |
1 |
65,69 |
|
2 |
-2 |
2 |
-1 |
1 |
93,15 |
Ухудшение, увеличиваем х1 |
3 |
0 |
2 |
-1 |
1 |
75,00 |
|
4 |
1 |
2 |
-1 |
1 |
97,71 |
Ухудшение, оставляем х1=-1 |
5 |
-1 |
3 |
-1 |
1 |
173,07 |
Ухудшение, уменьшаем х2 |
6 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
24,27 |
|
7 |
-1 |
0 |
-1 |
1 |
15,13 |
Улучшение |
8 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
21,91 |
Ухудшение, оставляем х2=0 |
9 |
-1 |
0 |
-2 |
1 |
18,15 |
|
10 |
-1 |
0 |
-3 |
1 |
23,07 |
Ухудшение, увеличиваем х3 |
11 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
14,14 |
Улучшение |
12 |
-1 |
0 |
1 |
1 |
15,13 |
Ухудшение |
13 |
-1 |
0 |
2 |
1 |
18,00 |
Ухудшение, оставляем х3=0 |
14 |
-1 |
0 |
0 |
2 |
17,05 |
|
15 |
-1 |
0 |
0 |
3 |
22,15 |
Ухудшение, уменьшим х4 |
16 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
13,01 |
|
17 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
14,07 |
|
18 |
-1 |
0 |
0 |
-2 |
17,05 |
Ухудшение, оставляем х4=0 |
Таблица №8
Второй цикл, шаг=0,5
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
13,01 |
|
2 |
-1,5 |
0 |
0 |
0 |
16,892 |
Ухудшение, увеличим х1 |
3 |
-0,5 |
0 |
0 |
0 |
13,82 |
Хуже, чем лучшее, оставляем х1=-1 |
4 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,08 |
|
5 |
-1 |
0,5 |
0 |
0 |
18,78 |
Ухудшение, оставляем х2=-0,5 |
6 |
-1 |
-0,5 |
-0,5 |
0 |
11,29 |
|
7 |
-1 |
-0,5 |
0,5 |
0 |
11,33 |
Улучшения не происходит, оставляем х3=0 |
8 |
-1 |
-0,5 |
0 |
-0,5 |
11,36 |
|
9 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
11,33 |
Улучшения не происходит, оставляем х4=0 |
Таблица №9
Третий цикл, шаг=0,1
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,08 |
|
2 |
-1,1 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,69 |
Ухудшение, увеличиваем х1 |
3 |
-0,9 |
-0,5 |
0 |
0 |
10,93 |
|
4 |
-0,8 |
-0,5 |
0 |
0 |
11,06 |
Ухудшение, оставляем х1=-0,9 |
5 |
-0,9 |
-0,6 |
0 |
0 |
12,30 |
Ухудшение, увеличиваем х2 |
6 |
-0,9 |
-0,4 |
0 |
0 |
10,06 |
Улучшение |
7 |
-0,9 |
-0,3 |
0 |
0 |
9,91 |
Улучшение |
8 |
-0,9 |
-0,2 |
0 |
0 |
10,37 |
Ухудшение, оставляем х2=-0,3 |
9 |
-0,9 |
-0,3 |
-0,1 |
0 |
9,83 |
Улучшение |
10 |
-0,9 |
-0,3 |
-0,2 |
0 |
9,86 |
Ухудшение, увеличиваем х3 |
11 |
-0,9 |
-0,3 |
0,1 |
0 |
9,87 |
Ухудшение, оставляем х3=-0,1 |
12 |
-0,9 |
-0,3 |
-0,1 |
-0,1 |
9,89 |
Ухудшение, увеличиваем х4 |
13 |
-0,9 |
-0,3 |
-0,1 |
0,1 |
9,87 |
Улучшения не происходит, оставляем х4=0 |
Делаем вывод, что мы попали в окрестность оптимальной точки, получив критерий оптимальности у=9,83, у третьей точки с координатами (-0,9; -0,3; -0,1; 0) отличие от второй точки только в координате х3 на 0,2.
3.2 Метод поиска с «наказанием случайностью».
Поиск первой точки
Таблица №10
Первая точка
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
2 |
-2 |
1 |
2 |
109,41 |
|
2 |
2 |
-1,5 |
2 |
1,6 |
83,31 |
Шаги 0; +0,5; +1; -0,4 |
3 |
2 |
-1 |
3 |
1,2 |
79,2 |
|
4 |
2 |
-0,5 |
4 |
0,8 |
82,27 |
Ухудшение, меняем шаги: -0,8; -0,1; -1; +0,3 |
5 |
1,2 |
-1,1 |
2 |
1,5 |
48,37 |
|
6 |
0,4 |
-1,2 |
1 |
1,8 |
37,65 |
|
7 |
-0,4 |
-1,3 |
0 |
2,1 |
32,02 |
|
8 |
-1,2 |
-1,4 |
-1 |
2,4 |
27,60 |
|
9 |
-2 |
-1,5 |
-2 |
2,7 |
38,05 |
Ухудшение, меняем шаги: +0,1;+0,2;+0,4;-0,5 |
10 |
-1,9 |
-1,3 |
-1,6 |
2,2 |
34,03 |
|
11 |
-1,8 |
-1,1 |
-1,2 |
1,7 |
28,37 |
|
12 |
-1,7 |
-0,9 |
-0,8 |
1,2 |
15,79 |
|
13 |
-1,6 |
-0,7 |
-0,4 |
0,7 |
20,24 |
Ухудшение, меняем шаги: +0,2;+0,1;+0,1;-0,1 |
14 |
-1,4 |
-0,6 |
-0,3 |
0,6 |
18,57 |
|
15 |
-1,2 |
-0,5 |
-0,2 |
0,5 |
12,90 |
|
16 |
-1 |
-0,4 |
-0,1 |
0,4 |
10,01 |
|
17 |
-0,8 |
-0,3 |
0 |
0,3 |
10,52 |
Ухудшение, меняем шаги: -0,1;-0,1;-0,1;0 |
18 |
-0,9 |
-0,4 |
-0,1 |
0,3 |
10,14 |
|
19 |
-1 |
-0,5 |
-0,2 |
0,3 |
11,25 |
Ухудшение, меняем шаги: +0,1;+0,1;0; -0,1 |
20 |
-0,9 |
-0,4 |
-0,2 |
0,2 |
10,07 |
|
21 |
-0,8 |
-0,3 |
-0,2 |
0,1 |
10,43 |
Ухудшение, меняем шаги: 0;0;+0,1;+0,1 |
22 |
-0,8 |
-0,3 |
-0,1 |
0,2 |
10,53 |
Все равно происходит ухудшение, значит надо менять переменные в др. сторону. Меняем шаги:0; 0;0;-0,1 |
23 |
-0,8 |
-0,3 |
-0,1 |
0,1 |
10,64 |
Ухудшение. Меняем шаги:-0,1;0;0;0 |
24 |
-0,9 |
-0,3 |
-0,1 |
0 |
9,83 |
|
На этом этапе эксперимент может быть завершен, поскольку перестало исполняться условие . Мы получили точку (-0,9; -0,3; -0,1; 0) с критерием оптимальности y=9,83.
Проверим правильность нахождения минимума, взяв новую точку. Проведем еще серию экспериментов.
Таблица №11
Вторая точка
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
Yср |
Комментарии |
1 |
3 |
-1 |
4 |
2 |
160,23 |
|
2 |
2,5 |
-0,9 |
3,2 |
1,6 |
114,63 |
Шаги -0,5; +0,1; -0,8; -0,4 |
3 |
2 |
-0,8 |
2,4 |
1,2 |
63,23 |
|
4 |
1,5 |
-0,7 |
1,6 |
0,8 |
49,78 |
|
5 |
1 |
-0,6 |
0,8 |
0,4 |
31,21 |
|
6 |
0,5 |
-0,5 |
0 |
0 |
21,84 |
|
7 |
0 |
-0,4 |
-0,8 |
-0,4 |
18,62 |
|
8 |
-0,5 |
-0,3 |
-1,6 |
-0,8 |
16,11 |
|
9 |
-1 |
-0,2 |
-2,4 |
-1,2 |
17,24 |
Ухудшение, меняем шаги: +0,1;-0,1;+0,4;+0,3 |
10 |
-0,9 |
-0,3 |
-2 |
-0,9 |
14,70 |
|
11 |
-0,8 |
-0,4 |
-1,6 |
-0,6 |
13,40 |
|
12 |
-0,7 |
-0,5 |
-1,2 |
-0,3 |
13,16 |
|
13 |
-0,6 |
-0,6 |
-0,8 |
0 |
13,69 |
Ухудшение, меняем шаги: -0,1;+0,1;+0,1;0 |
14 |
-0,7 |
-0,5 |
-0,2 |
0 |
11,56 |
|
15 |
-0,8 |
-0,4 |
-0,1 |
0 |
10,52 |
|
16 |
-0,9 |
-0,3 |
0 |
0 |
9,82 |
|
17 |
-1 |
-0,2 |
0,1 |
0 |
10,05 |
Ухудшение. |
Получаем точку (-0,9;-0,3;0;0) с критерием оптимальности у =9,82. Этот результат наилучший, как и первый. Из двух разных точек данным методом мы «пришли» в одну.
После проведения экспериментов двумя разными методами мы получаем один и тот же результат, а это означает, что найденный минимум является наиболее близким к глобальному.