Выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характе­ристику— выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D_в называют среднее арифме­тическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения х_1, х₂, ..., x_n признака генеральной совокупности объема n различны, то

Если же значения признака х_1, х₂, ..., x_n имеют соответственно частоты n_l, n₂, ..., n_k, причем n₁ + n₂ + …+ n_k = n, то

т. е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствую­щим частотам.

Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распреде­ления

х_i 1 2 3 4

n_i 20 15 10 5

Найти выборочную дисперсию.

Решение. Найдем выборочную среднюю

Найдем выборочную дисперсию

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна­чений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком Х извлечена повторная выборка объема n:

значения признака х₁ х₂ ... x_n

частоты n_l n₂ ... n_k

При этом n₁ + n₂ + …+ n_k = n.

Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию D_г. Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой D_г, другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить D_в на дробь n/(n—1). Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через s²:

Исправленная дисперсия является, конечно, несме­щенной оценкой генеральной дисперсии.

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии при­нимают исправленную дисперсию

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квад­ратному корню из исправленной дисперсии:

Подчеркнем, что s не является несмещенной оценкой; чтобы отразить этот факт, мы написали и будем писать далее так: «исправленное» среднее квадратическое откло­нение.