Распределение Больцмана.

При рассмотрении распределения Максвелла полагалось, что внешние силовые поля отсутствуют. Рассмотрим случай, когда идеальный газ находится во внешнем силовом поле. Рассмотрим модельный вариант.

П усть дан сосуд. В нем находится газ, который разделен на две части – 1 и 2, между которыми действует силовое поле.

Допустим, что в начальный момент времени число молекул было одинаковым в обеих половинках. Объемы тоже одинаковы. Следовательно, концентрации также равны.

Однако, из-за действия силового поля количество молекул, переходящих из второй области в первую за единицу времени будет превышать число молекул, переходящих из первой области во вторую. В результате концентрация молекул в первой области будет возрастать, а во второй – убывать. В итоге число молекул, переходящих из области 2 в область 1 начнет снижаться, а обратный поток увеличится.

Таким образом, через определенный промежуток времени потоки выровняются, и концентрация в областях перестанет изменяться. В конечном итоге в первой области будет концентрация , во второй области - . В таком равновесном состоянии система будет находиться как угодно долго. Нашей задачей является установить связь между этими установившимися концентрациями.

Выделим в первой области молекулу со скоростью (ось направим вертикально вверх). Предполагается, что молекула находится недалеко от границы и через небольшой промежуток времени достигает её и переходит во вторую область. Выделим соответствующий объёмчик высотой . Будем считать, что он цилиндрический с основанием . Тогда

.

Число молекул попадающих в этот объем и имеющих проекции скорости обозначим через . Все они переходят во вторую область. Тогда

,

где – число молекул в этом объеме, .

.

Пусть - число молекул, переходящих из первой области во вторую за некоторый достаточно малый промежуток времени

.

Проводя аналогичные рассуждения для молекул, переходящих из второй области в первую можно записать, что

.

Так как система находится в состоянии равновесия, то . Значит, эти интегралы можно приравнять

,

.

Обозначим потенциальную энергию, которую приобретает молекула при переходе из первой области во вторую через . Тогда можем записать, что

(2).

(Состояние равновесия не нарушится, если при переходе из первой области во вторую молекула превращается в молекулу , и наоборот).

Возьмем дифференциалы от обеих частей выражения (2)

,

.

Сравним наши интегралы. Если , то .

Выразим из (2)

.

Тогда:

,

.

Подставляя выражение для окончательно получим

(3).

Полученное соотношение (3) называется законом распределения Больцмана.

В более общем смысле

(3^’),

где -потенциальная энергия, которая соответствует области .

Воспользуемся формулой . Выразим и подставим в (3’)

,

,

/

В виде следствия получили формулу, которая носит название барометрической.

Лекция 4

Распределение Гиббса.

По-прежнему будем рассматривать сосуд с идеальным газом. Выделим в этом сосуде пространственный объём

,

,

,

.

В пространстве скоростей выберем некоторый объем , который характеризуется

,

,

.

Вероятность того, что произвольно выбранная молекула попадет в этот интервал:

Сделаем переход от пространства скоростей к пространству импульсов:

.

Тогда:

.

В пространственном объеме выделим элементарный объем.

Вероятность того, что произвольно выбранная молекула имеет такие координаты:

,

где - общее число молекул в сосуде.

Допустим, что в некоторой бесконечно малой области объема известна концентрация , потенциальная энергия молекул в этой области. Тогда с помощью закона распределения Больцмана:

,

где - потенциальная энергия в выделенном объеме.

Вероятность того, что произвольно выбранная молекула одновременно принадлежит интервалу импульсов и интервалу координат (эти два события не зависят друг от друга):

.

;

;

Т. к. , обозначим через :

;

Т. к. :

.

Произведение формально можно воспринимать как элемент объема в шестимерном пространстве.

Число молекул в сосуде частиц, в результате получается огромное число элементарных объемчиков.

Присвоим каждому объемчику номер, так же присвоим номера молекулам.

В рамках классической физики это допускается, т. е. две молекулы различны.

Вероятность что молекула с номером 1 попадет в объемчик с тем же номером 1:

.

Вероятность события, что одновременно все молекулы попадут в объемы с такими же номерами что и у молекул:

.

Обозначим вероятность этого события через :

,

,

где - полная энергия, - элемент -мерного пространства, , можно всегда представить в виде , - некоторая величина, которая должна иметь наименование энергии, т. е. величина измеряется в единицах энергии. получило название свободной энергии.

Тогда:

(**) - распределение Гиббса.

В -мерном пространстве в каждый момент времени можно выделить точку, которая соответствует значениям координат и импульсов точек системы в этот момент времени.

Т. к. частицы системы находятся в непрерывном хаотическом движении, то точка описывает некоторую траекторию в -мерном пространстве.

Распределение Гиббса – это есть вероятность того, что система попадает в объемчик .

Если температура системы не меняется, и система является изолированной, то вероятность оказаться в любом объемчике одинакова.

Проинтегрируем выражение (**):

(вытекает из того, что ).

.

- интеграл состояния.

,

.

Проинтегрируем:

,

.

Лекция №5

Определим выражение свободной энергии для идеального одноатомного газа

,

где E – энергия газа.

В данном случае , т.к. Е_n=0 по определению идеального газа.

Е=Е₁+ Е₂ +…+Е_N.

Воспользуемся связью

.

Тогда, учитывая, что

получим

.

Рассмотрим один из таких интегралов.

Интегрирование по дает .