18. Метод внесення під знак диференціала. Заміна змінних в невизначеному інтегралі.

В основі цього методу лежить інваріантність (незмінність) формули диференціалу при заміні простого аргументу на функцію іншого аргументу: якщо dF(x) = , то

Тому, якщо F(x) є первісна функція для , то є первісна для

Для прикладу розглянемо наступний інтеграл:

Оскільки

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

1. Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).

Приклад. Знайти інтеграл

Розв'язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді

Отже, одержимо

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

2. Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце

Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

Приклад. Знайти

Розв’язування. Нехай тоді

Тому

19. Метод інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x), v = v(x).

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

d(uv) = udv + vdu

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

Отже, одержали формулу

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє знаходження інтеграла звести до знаходження

Інтеграла При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай u = Inx, dv = dx. Тоді v = x

За формулою інтегрування частинами одержимо

20. Інтегрування дробово- раціональних функцій. Основні відомості теорії многочленів. Розкладання правильного дробу.

Функція, яка дорівнює відношенню двох многочленів

де n , m- цілі додатні числа, -

дійсні числа, називається дробово- раціональною функцією.

Якщо то дріб буде неправильний, якщо n<m то дріб правильний.

Наприклад :

20.1

Многочлен або поліном (від грец. «Полі» - багато і лат. «Номен» - ім'я) - клас елементарних функцій класичної алгебри та алгебраїчної геометрії. Це функція однієї змінної, яка має вигляд F (x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x ^ n, де c_i - фіксовані коефіцієнти, x - змінна.

Многочлени застосовуються в багатьох розділах, в тому числі розгляді нуля, негативних і комплексних чисел, теорії груп, кілець, вузлів, множин і т.д. Використання поліноміальних обчислень значно спрощує вираз властивостей різних об'єктів.

Основні визначення многочлена:

• Кожне складова полінома називається одночленів або Мономах.

• Многочлен, що складається з двох одночленів, називають двучленной або Біном.

• Коефіцієнти полінома - речові або комплексні числа.

• Якщо старший коефіцієнт дорівнює 1, то многочлен називають унітарною (наведеним).

• Ступені змінної в кожному одночленні - цілі невід'ємні числа, максимальний ступінь визначає ступінь многочлена, а його повної ступенем називається ціле число, рівне сумі всіх ступенів.

• Одночлен, відповідний нульової ступеня, називається вільним членом.

• Многочлен, все одночлени якого мають однакову повну ступінь, називається однорідним.

Деякі часто використовувані многочлени названі на прізвище вченого, який їх визначив, а також описав функції, які вони задають. Наприклад, Біном Ньютона - це формула для розкладання полінома двох змінних на окремі складові для обчислення ступенів. Це відомі зі шкільної програми запису квадратів суми і різниці (a + b) ^ 2 - a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2, (a - b) ^ 2 = a ^ 2 - 2 * a * b + b ^ 2 і різниця квадратів (a ^ 2 - b ^ 2) = (a - b) * (a + b).

Якщо допустити в записі многочлена негативні ступеня, то вийде многочлен або ряд Лорана; многочлен Чебишева використовується в теорії наближень; многочлен Ерміта - в теорії ймовірностей; Лагранжа - для чисельного інтегрування та інтерполяції; Тейлора - при апроксимації функції і т.д.

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника .

Якщо , то такий дріб називають неправильним. У такому разі, виконуючи ділення, знаходимо:

(6)

де - многочлени - го і - го степеня, причому , тобто дріб - правильний.

Приклад.

Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби. Вони бувають чотирьох типів:

І. ІІІ.

ІІ. ІV. .

Тут — дійсні числа, — ціле число.

Тричлен не має дійсних коренів, тобто .