1 Нестационарная теплопроводность тел

З а д а н и е. Исследовать процесс нагрева железобетонной плиты при её термической обработке. Определить распределение температуры по толщине плиты и расход теплоты на единицу её объёма по истечении времени τ в зависимости от интенсивности теплообмена между греющей средой и поверхностью плиты.

В начале термической обработки температура по всему объёму плиты была одинаковой и равной t_н. Температура греющей среды в процессе нагрева плиты поддерживалась постоянной и равной t₀. Обогрев плиты симметричный. Время процесса нагрева τ определить из условия, что температура на поверхности плиты оказалась равной t_c. Скорость потока водяного пара относительно поверхности плиты w. Данные к заданию приведены в таблице 1.1.

_{Т а б л и ц а 1.1}

_{Исходные данные}

Размер плиты s× b× ℓ, м				0,2× 1,1 ×6,0
Начальная температура плиты tн, 0С				2
Температура поверхности плиты tс, 0С				80
Температура насыщенного пара t0, 0С				125; 140
Теплофизические свойства плиты		Плотность ρ, кг/м3		2100
		Коэф. теплопроводности λс, Вт/м∙К		1,35
		Теплоемкость c, Дж/м∙К		840
Критерий Прандтля при температуре стенки tс=100: Prс				0,99
Скорость потока воздуха w, м/с				4; 8; 12; 16; 20
Физические свойства водяного пара в состоянии насыщения	При t0=125 0С		Коэф. теплопроводности λп∙10-2, Вт/м∙К	2,639
			Коэф. кинематической вязкости υп∙10-6, м2/с	10,155
			Критерий Прандтля: Prп	1,1
	При t0=140 0С		Коэф. Теплопроводности λп∙10-2, Вт/м∙к	2,791
			Коэф. Кинематической вязкости υп∙10-6, м2/с	6,89
			Критерий Прандтля: Prп	1,12

1.1 Расчёт

Плита толщиной S, выполненная из однородного материала и ограниченная плоскопараллельными поверхностями, по размерам много большими S, подвергается внезапному тепловому воздействию с обеих сторон потоком пара. Процесс нестационарной теплопроводности в плите описывается дифференциальным уравнением:

. (1.1)

Считая, что процесс нагрева плиты идёт по обе стороны, начало координат целесообразно поместить в середине плиты по толщине.

Так как на плиту воздействует поток пара, нам необходимо вычислить коэффициент теплоотдачи от потока пара к поверхности плиты. Для этого необходимо вычислить критерий Рейнольдса, определяемый выражением:

, (1.2)

где w- скорость потока пара, м/с

l – толщина плиты, м;

ν – коэффициент кинематической вязкости пара, м²/с.

После этого необходимо вычислить критерий Нуссельта для пара:

, (1.3)

где Pr_ж – критерий Прандтля, определяемый для пара по табличным значениям при температуре пара;

Pr_с – критерий Прандтля, определяемый для пара по табличным значениям при температуре стенки.

Вычислив критерий Нуссельта можно , наконец, определить коэффициент теплоотдачи пара к плите:

, (1.4)

где λ – коэффициент теплопроводности пара при заданной температуре пара.

Результаты расчётов приведены в таблице.

_{Т а б л и ц а 1.2}

_{Значения критериев Рейнольдса, Нуссельта, коэффициента теплоотдачи для потока пара при температуре 125ºС}

Скорость потока пара w, м/с	Re · 10-6		Nu · 10-3	Коэффициент теплоотдачи α, Вт/м2∙к
4	2,3634		4,968	21,8593
Окончание таблицы 1.2
8	4,7267		8,651	38,0592
12	7,0901		11,966	52,6420
16	9,4535		15,063	66,2649
20		11,8168	18,006	79,2157

_{Т а б л и ц а 1.3}

Значения критериев Рейнольдса, Нуссельта, коэффициента теплоотдачи для потока пара при температуре 140ºС

Скорость потока пара w, м/с	Re · 10-6	Nu · 10-3	Коэффициент теплоотдачи α, Вт/м2∙К
4	3,483	6,860	31,9127
8	6,967	11,945	55,5632
12	10,45	16,521	76,8529
16	13,93	20,797	96,7412
20	17,42	24,862	115,6483

Для дальнейших расчётов нам необходимо вычислить критерий Био, определяемый из выражения:

, (1.5)

где S – параметр плиты, м;

λ – коэффициент теплопроводности материала плиты.

Решением трансцендентного уравнения:

. (1.6)

Является бесконечное множество корней (δ₁, δ₂, δ₃, …), но для расчётов нам хватит первых пяти, значения которых приведены в таблицах.

_{Т а б л и ц а 1.4}

Значения критерия Био и корней трансцендентного уравнения для потока пара при температуре 125ºС

Скорость потока пара w, м/с	Bi	δ	δ	δ	δ	δ
4	1,6192	1,0121	3,5676	6,5264	9,5920	12,6932
8	2,8192	1,1757	3,7821	6,6824	9,7074	12,7834
12	3,8994	1,2586	3,9239	6,8036	9,8034	12,8608
16	4,9085	1,3100	4,0255	6,9014	9,8856	12,9292
20	5,8678	1,3454	4,1023	6,9821	9,9573	12,9906

_{Т а б л и ц а 1.5}

Значения критерия Био и корней трансцендентного уравнения для потока пара при температуре 140ºС

Скорость потока пара w, м/с	Bi	δ	δ	δ	δ	δ
4	2,3639	1,1262	3,7090	6,6259	9,6647	12,7497
8	4,1158	1,2712	3,9478	6,8258	9,8216	12,8758
12	5,6928	1,3397	4,0895	6,9682	9,9447	12,9797
16	7,1660	1,3805	4,1839	7,0750	10,0445	13,0680
20	8,5665	1,4079	4,2517	7,1579	10,1269	13,1440

Тогда температурный напор в любой точке сечения плиты можно вычислить по формуле:

, (1.7)

где θ₀ – начальный температурный напор, θ₀ = t_п – t_н ,

Fo – критерий Фурье, вычисляемый по формуле:

(1.8)

где a – коэффициент температуропроводности плиты, a = λ/cρ

Таким образом, для нахождения температурного напора в любом сечении плиты нам необходимо вычислить время τ, которое можно найти, зная разность температур на поверхности плиты.

_{Т а б л и ц а 1.6}

Результаты вычислений времени воздействия пара на плиту

Скорость потока пара w, м/с	Время τ, с (при температуре пара 125ºС)	Время τ, с (при температуре пара 140ºС)
4	4165	1313
8	1425	433,3
12	745	225,49
16	470,5	139,2
20	329	91,7

Вычислив время τ, можно определить распределение температуры по сечению плиты в момент времени τ.

Количество тепла, подведённое через единицу площади поверхности при её нагреве от начальной температуры до температуры, равной температуре потока пара , определяется по формуле, Дж/м²:

, (1.9)

а количество тепла, подведённое к единице площади поверхности за время τ с обеих сторон плиты, -

. (1.10)

_{Т а б л и ц а 1.7}

Количество тепла, подведённое к единице площади поверхности за время τ с обеих сторон плиты

Скорость потока пара w, м/с	Q, Вт (при температуре пара 125ºС)	Q, Вт (при температуре пара 140ºС)
4	1,271 · 107	0,7245 ·107
8	0,7637 · 107	0,4119 ·107
12	0,5496 · 107	0,2909 ·107
16	0,4336 · 107	0,2204 ·107
20	0,3589 · 107	0,1688 ·107

_{Т а б л и ц а 1.8}

Значение температурного напора в сечениях плиты и количество тепла, подведённое к единице площади поверхности за время τ с обеих сторон плиты при температуре пара 125ºС

	Сечение x=0 , м	Сечение x=0,025, м	Сечение x=0,05 , м	Сечение x=0,075, м	Сечение x=0,1 , м	Количество тепла Q·10-7,
Температурный напор θ , ºС (w=4 м/с)	22,4914	25,6061	34,8596	49,9075	70,0000	1,271
Температурный напор θ , ºС (w=8 м/с)	4,4928	7,1709	16,6786	36,9583	70,0000	0,7637
Температурный напор θ , ºС (w=12 м/с)	2,2088	3,0477	8,4660	27,6861	70,0000	0,5496
Температурный напор θ , ºС (w=16 м/с)	2,0122	2,1832	4,6643	20,7308	70,0000	0,4336
Температурный напор θ , ºС (w=20 м/с)	2,0000	2,0314	3,0210	15,4990	70,0000	0,3589

_{Т а б л и ц а 1.9}

Значение температурного напора в сечениях плиты и количество тепла, подведённое к единице площади поверхности за время τ с обеих сторон плиты при температуре пара 140ºС

	Сечение x=0 , м	Сечение x=0,025, м	Сечение x=0,05 , м	Сечение x=0,075, м	Сечение x=0,1 , м	Количество тепла Q·10-7,
Температурный напор θ , ºС (w=4 м/с)	3,9464	6,2466	15,1813	35,4163	70,0000	0,7245
Температурный напор θ , ºС (w=8 м/с)	2,0049	2,1184	4,1114	19,1326	70,0000	0,4119
Температурный напор θ , ºС (w=12 м/с)	2,0000	2,0441	2,2474	10,2826	70,0000	0,2909
Температурный напор θ , ºС (w=16 м/с)	2,0000	2,0302	2,0104	5,2830	70,0000	0,2204
Температурный напор θ , ºС (w=20 м/с)	2,0000	2,0000	2,0000	2,1618	70,0000	0,1688

1.2 Графическая часть

Рисунок 1.1,

Изменение коэффициента теплоотдачи при увеличении скорости и температуры пара

Рисунок 1.2,

Зависимость времени нагрева плиты от скорости потока пара

Рисунок 1.3,

Изменение теплового потока при изменении скорости пара

Рисунок 1.4,

Распределение температуры в плите при температуре пара 125⁰С

Рисунок 1.5,

Распределение температуры в плите при температуре пара 140⁰С