3.3. Метод вузлових потенціалів.

Базується на першому законі Кірхгофа і законі Ома.

Визначають кількість вузлів у схемі n i довільно вибирають вузол, потенціал якого прирівнюють до нуля. Це не приводить до утворення додаткової вітки i струморозподіл у схемі залишається незмінним (одночасно прирівнювати до нуля потенціали двох вузлів не рекомендується, оскільки у схемі може з'явитися нова вітка, що змінить струми в ycix інших вітках). За нульовий можна вважати потенціал будь-якого вузла тому, що струм залежить не від абсолютних значень потенціалів, а від їx різниці на затискачах вітки. Після прирівнювання до нуля одного потенціалу залишається n - 1 невідомих потенціалів. Для їx визначення складають n - 1 незалежне рівняння за першим законом Кірхгофа. Обчисливши потенціали ycix вузлів відносно нульового, за законом Ома знаходять струми у вітках.

Переваги: зменшується кількість розрахункових рівнянь порівняно з методом законів Кірхгофа, оскільки їx потрібно складати тільки за першим законом.

Порядок розрахунку:

1. Визначити кількість вузлів n у схемі.

2. Потенціал будь-якого вузла прирівняти до нуля.

3. Скласти систему рівнянь:

де g₁₁, g₂₂,…,g_nn - власні провідності 1, 2, 3,..., n вузлів відповідно (сума провідностей віток у вузлі, що розглядається);

g₁₂ = g₂₁ - сума провідностей віток, які безпосередньо з'єднують 1 і 2 вузли;

g₁₃ = g₃₁ - сума провідностей віток, які з'єднують 1 і 3 вузли;

g₂₃ = g₃₂ - сума провідностей віток, які з'єднують 2 і 3 вузли і т.д.

При складанні рівнянь слід пам'ятати:

а) додатки g₁₁₁, g₂₂₂, …, g_nn_n завжди враховують з "+";

б) додатки g_mk_k завжди враховують з "-";

в) коли обчислюються ΣЕg i ΣJ зі знаком "+" враховують е.р.с. Е і струми J, спрямовані до вузла, що розглядається; зi знаком "-" -спрямовані від цього вузла.

4. Розв'язати складену систему рівнянь і визначити потенціали вузлів відносно нульового.

5. Обчислити струми у вітках, користуючись законом Ома

для вітки, що має е.р.с. ;

для вітки, що не має е.р.с.: .

Задача 14.

Визначити струми у вітках кола, показаного на рис.32.

Е₁= 80 В; Е₃ = 20 В; Е₄= 10 В; Е₆ = 60 В;

J = 3 A; r₁' = 8 Ом; r₁''= 12 Ом; r₂ = 4 Ом; r₇ = 5 Ом;

r₃ = r₄ = r₅ = r₆ = 10 Ом.

Рис.32

Розв’язання.

1. Визначаємо кількість вузлів у схемі: n = 4.

2. Припустимо, що ₄=0.

3. Складаємо систему рівнянь для обчислення ₁, ₂, ₃:

Підставивши числові значення, маємо:

4. Розв'язуємо систему за допомогою визначників:

5. Користуючись законом Ома для активної або пасивної ділянки кола, обчислюємо дійсні струми у вітках:

6. Перевіряємо правильність розрахунків за балансом потужностей:

де

Зауваження: якщо коло має вітку, в якій ввімкнене тільки джерело напруги з r₀ = 0, то провідність такої вітки дорівнює нескінченності. Для розв'язання задачі методом вузлових потенціалів за нульовий потенціал слід взяти потенціал одного з вузлів даної вітки. Кількість рівнянь в такому випадку зменшується.

Задача 15. Визначити струми у вітках кола, показаного на рис.33.

Рис.33

J = 10 A; Е₂ = 90 В; Е₃= 5 В; Е₇ = 12 В;

r₁ = 8 Ом; r₆ = 4 Ом; r₂ = r₃ = r₄ = r₅ = 10 Ом.

Розв'язання.

1. Визначаємо кількість вузлів у схемі: n = 4.

2. Вітка між вузлами 3 і 4, яка містить тільки джерело напруги E₇, має r = 0 i відповідно , тому за нульовий потенціал необхідно взяти або φ₄, або φ₃. Припустимо, що φ₄ = 0, тоді φ₃ = Е₇.

Залишаються лише два невідомих потенціали φ₁ i φ₂, для обчислення яких потрібно скласти 2 рівняння.

3. Складаємо розрахункові рівняння:

Після підстановки числових значень r, Е, I визначаємо:

4. Розв’язуючи систему, знаходимо невідомі потенціали φ₁ = 69 В; φ₂=22 В.

5. Розраховуємо струми:

• за законом Ома:

за першим законом Кірхгофа для вузла 3:

6. Складаємо рівняння балансу потужностей i перевіряємо правильність розрахунків:

де

Задача 16. У колі на рис.34 відомі:

E₁ = 160 В; E₂= 100 В;

r₃ = r₄ = 100 Ом; r₅ = 150 Ом; r₆ = 40 Ом.

Обчислити струми.

Рис.34

Розв'язання.

Вивчивши схему, визначаємо, що у двох вітках відсутні опори i їх провідності дорівнюють нескінченності. Незважаючи на це, для розрахунку струмів можна скористатися методом вузлових потенціалів, оскільки вищезгадані вітки з'єднані у спільному вузлі 1. Для заданої схеми існують 3 варіанти вибору нульового потенціалу:

1 варіант: припустимо φ₁ = 0,

тоді φ₂ = -Ε₁ = -160 В; φ₃ = -100 В; φ₀-?

2 варіант: припустимо φ₂ = 0,

тоді φ₁ = Ε₁ = 160 В; φ₂ = Ε₁ - Ε₂ = 60 В; φ₀-?

3 варіант: припустимо φ₃ = 0,

тоді φ₁ = Ε₂ = 100 В; φ₂ = Ε₂ - Ε₁ = -60 В; φ₀-?

Трудомісткість розрахунків за кожним з цих варіантів однакова, оскільки потрібно визначити тільки φ_0.

1. Вибираємо 1 варіант:

φ₁ = 0; φ₂ = -160 В; φ₃ = -100 В.

2. Складаємо рівняння для обчислення φ₀:

звідки

3. Знаходимо струми у вітках: за законом Ома:

за першим законом Кірхгофа: I₁ = I₃ + I₆ = 2,25 A; I₂ = I₆ - I₅ = 1,4 A.

4. Перевіряємо правильність розрахунків за балансом потужностей: