3º. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Ряды находят разнообразные применения в прикладной математике. Имея дело с числовым рядом,прежде всего следует выяснить, сходится ли этот ряд. Выяснить это часто удается с помощью свойств, описанных в предыдущем пункте ( например, если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится). Если указанных средств оказалось недостаточно, обращаются к признакам сходимости и расходимости рядов, наиболее употребительные из которых составляют содержание этого и следующего пунктов.

В этом пункте мы рассматриваем числовые ряды члены которых неотрицательны. Обозначим через S_n частичную сумму такого ряда.: S _n = = .Так как a _k ≥ 0, то S _n ≤ S _{n +1}, т.е. {S _n } - монотонная неубывающая последовательность. Если эта последовательность ограничена сверху, она сходится, в противном случае она стремится к + ∞ ([3], п.3.6 ). Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. ( Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами) Для того, чтобы ряд a _k ≥ 0, сходился, необходимо и достаточно, что- бы последовательность его частичных сумм {S _n } была ограничена сверху .

Пусть f - некоторая функция, определенная на промежутке [ 1, +∞). Обозначим : a _k= f(k) , где k , и рассмотрим числовой ряд . Будем называть f производящей функцией для числового ряда . Например, f (x) = является производящей функцией для гармонического ряда , так как при всех натуральных k f (k) = . Если производящая функция неотрицательна на [1, +∞), то - ряд с неотрицатеьными членами.

Теорема 2. (Интегральный признак Коши) Пусть производящая функция f числового ряда непрерывна, неотрицательна и монотонно не возрастает на промежутке [1;+∞). Для того, чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

► Напомним: по определению = , где F(x) = ; интеграл сходится, если предел конечен, и расходится в противном случае, т.е. если этот предел равен ∞ или не существует ( [4], п. 2.1). По условию теоремы f (x) неотрицательна на [1, +∞) , поэтому F(x) моно -тонно не убывает [ 1,∞) ; следовательно, конечен тогда и только тог- да, когда F(x) ограничена на [ 1, +∞) сверху. Отметим еще, что если интег- рал сходится, то F(x) ≤ при всех х 1.

Пусть k – натуральное число. Так как f (x) - монотонная невозрастающая функция, то т.е. при Интегрируя последние неравенства, получим: , т.е. . Отсюда: , т.е.

N S_n –a_n ≥ ≥ S_n –a₁ (2)

Необходимость. Пусть сходится, а S – его сумма : lim S_n = S, где . Так как , то {S_n} – неубывающая последовательность, и при всяком натуральном n S_n ≤ S_n+1 ≤ S. Из (2) имеем: N ≤ S_n –- a_n , и так как S_n ≤ S , то при всех натуральных n справедливо F(n) ≤ S. Отсюда вытекает: функция F ограничена на [1;+∞) cверху числом S; следователь- но (см. выше), интеграл сходится.

Достаточность. Пусть интеграл сходится. Так как F(x) ≤ , то из (2) имеем: при всех натуральных n : ≥ F(n) = ≥ S_n –a₁ . Отсюда : N S_n ≤ + а₁ , т.е. последовательность {S _n } ограниче- на сверху; значит ( см. теорему 1) , ряд сходится. ◄

Пример 6. Пусть λ – некоторое вещественное число.Рассмотрим ряд . Этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом ( в частном случае λ =1 получим гармонический ряд, см. пример 4). Если λ ≤ 0 , то не стремится к нулю; значит (см. достаточное условие расходимости, 2˚), при λ≤0 обобщенный гармонический ряд расходится. Пусть λ>0. Функция f (x) = = , очевидно, является производящей функцией для ряда ; она положительна и убывает на [1;+∞) . Таким образом, f (x) удовлетворяет тре- бованиям интегрального признака Коши.

Имеем: при λ≠ 1 , при λ = 1 . Из этих равенств нетрудно вывести, что расходится при 0 < λ ≤ 1 и сходится при λ > 1. По интегральному признаку Коши обобщенный гармонический ряд ведет себя так же.

Итак, ряд расходится при λ ≤ 1 и сходится при λ > 1.

Следующие теоремы дают достаточные условия сходимости или расходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 3. ( Первый признак сравнения ) Пусть {a_k} и {b_k} - две последовательности неотрицательных чисел, причем . Тогда :

1. если сходится, то сходится и ряд ;

2. если ряд расходится, то расходится и ряд .

► Обозначим : 1) Очевидно, Пусть сходится, а - его сумма : . Так как последовательность частичных сумм монотонно не убывает, то ≤ . Значит, при всех натуральных n ≤ , т.е. последовательность { } ограничена свер- ху числом , и поэтому она сходится. 2) Пусть расходится; тогда Так как , то и → +∞, т.е. ряд расходится.◄

Пример 7. Рассмотрим ряд . При всяком натуральном k k! ≥ Следовательно, при всех натуральных k Ряд сходится (пример 1, q = = ½), значит,сходится и рассматриваемый ряд.

Теорема 3. ( Второй признак сравнения ) Пусть {a_k} – последовательность неотрицательных чисел, а {b_k} – последовательность положительных чисел. Пусть, далее, где q - либо неотрицательное число, либо символ +∞. Тогда :

1. если 0 < q < + ∞, то ряды и ведут себя одинаково – либо

оба сходятся, либо оба расходятся ;

2) если q = 0, а ряд сходится, то сходится и ряд ;

3) если q = + ∞, а ряд расходится, то расходится и ряд .

► 1) Достаточно показать, что из сходимости вытекает сходи –

мость , а из расходимости следует расходимость . Зададим

ε, 0 < ε < q . Найдется натуральное k_ε , такое, что при всех k > k_ε справедливо неравенство , т.е.

(3)

Пусть сходится . Тогда сходится и его остаток . Из неравенств

( см.(3) ) и первого признака сравнения вытекает сходимость ряда ( заметим, что q – ε > 0 ). Этот ряд представляет собой остаток ряда , который, следовательно, является сходящимся. Значит (см. свойство 4, п. 2º ), сходится.

Пусть расходится. Чтобы вывести отсюда расходимость ряда ,

следует воспользоваться неравенствами , справедливыми при k > > k_ε ( см. (3) ). Рассуждения аналогичны изложенным выше.

2) Пусть сходится. Зададим некоторое ε > 0. Так как най- дется k_ε , такое, что при всех k > k_ε справедливо неравенство , т.е. Так как сходится, то сходится и его остаток . По свойству 4, п. 2º, сходится ряд . Отсюда и из первого признака сравнения вытекает сходимость ряда , который представляет собой остаток ряда . Значит, сходится.

3. Пусть расходится. Так как найдется натуральное k₁ та

кое, что при всех k > k₁ справедливо По первому признаку сравнения из вытекает расходимость ряда , который представляет собой остаток ряда . Значит, расходится. ◄

Замечание. Доказанная теорема производит сравнение двух рядов по “ско- рости” убывания их общих членов. Если общие члены рядов и являются бесконечно малыми одинакового порядка ( , q ≠ 0, +∞ ), то ряды ведут себя одинаково; в частности, ряды ведут себя одинаково, когда их общие члены эквивалентны ( случай q = 1 ). Если общий член ряда является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с об- щим членом сходящегося ряда (a_k =o( b_k) ), то также сходится; если общий член a_k убывает “медленнее“ общего члена расходящегося ряда , то ряд также расходится.

Чтобы эффективно применять признаки сравнения, нужно располагать набором рядов, относительно которых уже известно, сходятся они или расходятся, и чем больше различных рядов в этом наборе, тем больше шансов най- ти среди них такой, сравнение с которым позволит выяснить, сходится ли интересующий нас ряд. Мы уже можем включить в этот набор различные ря- ды вида , где a и q положительные числа – такой ряд сходится, если 0 < q < 1, и расходится, если q ≥ 1 (cм.примеры 1 и 5). В этот набор можем включить также обобщенный гармонический ряд при всевозможных вещественных λ (пример 6). Вообще, каждый ряд, сходимость которого исследована, пополняет указанный набор рядов.

На второй признак сравнения опирается метод выделения главной части в иследовании рядов на сходимость. Пусть f (x) есть производящая функция ряда : a_k = f (k) . Пусть, далее, С , где С > 0 и λ > 0 , - главная часть f (x) при х → +∞ , т.е. f (x) эквивалентна С при х → +∞. Из второго признака сравнения следует, что ряд ведет себя так же, как ряд : он расходится, если λ ≤ 1, и сходится, если λ > 1.

Пример 8. Исследуем на сходимость ряд . Запишем его производящую функцию : . Выделим ее главную часть при х→ +∞ :

~

= ~ , х→ +∞.

Итак, С = 1 , λ = 1, поэтому рассматриваемый ряд ведет себя так же, как гармонический ряд , т.е. расходится.

Теорема 4 . (Признак Даламбера) Пусть {a_k} – последовательность положительных чисел, и пусть , где q – либо неотрицательное число, либо + ∞. Тогда : 1) если 0≤ q < 1, то ряд сходится; 2) если q > 1 или q =+ ∞ , то ряд расходится.

► 1) Пусть р – число, удовлетворяющее неравенствам q < p < 1. По теореме о стабилизации знака неравенства ( [3], п. 3.3 ) найдется натуральное k_р такое, что при всех k > k_р справедливо , т.е. а_k+1 < p a_k. Отсюда при k = k_p+1 получим при k = k_p+2 получим , при k= k_p+3 будет и т.д. Вообще, при всяком натуральном m справедливо неравенство . Рассмотрим два ряда : и . Для их общих членов справедливо неравенство , причем ряд с бóльшим общим членом сходится, ибо его члены образуют геометрическую прогрессию, знаменатель р которой меньше единицы. По первому признаку сравнения сходится ряд , который представляет собой остаток ряда ; значит, этот последний ряд сходится.

2) И в случае q > 1, и в случае q = + ∞ найдется натуральное k₀ такое, что при всех k > k₀ справедливо , т.е. начиная с номера k₀ члены пос- ледовательности { a_k } возрастают, поэтому эта последовотельность не стремится к нулю. Значит, ряд расходится. ◄

Замечание. В случае q = 1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда: если , ряд может оказаться сходящимся , но может окзаться и расходящимся.

Пример 9. Применим признак Даламбера к ряду : a_k = ,

.

Значит, ряд сходится.

Теорема 5. ( Радикальный признак Коши ) Пусть {a_k} – последовательность неотрицательных чисел, и пусть , где q – либо неотрицательное число, либо +∞. Тогда : 1) если 0 ≤ q < 1, то ряд сходится , 2) если q > 1 или q = + ∞, то ряд расходится.

► 1) Пусть р – число, удовлетворяющее неравенствам q < р < 1. Най- дется натуральное k_р такое, что при всех k > k_р справедливо , т.е. a_k< < . По первому признаку сравнения отсюда следует, что ряд (остаток ряда ) сходится, так как его члены меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поскольку сходится остаток, то сходится и сам ряд.

2) И в случае q > 1, и в случае q =+ ∞ найдется натуральное k₀ такое, что при всех k > k₀ справедливо ; поэтому при указанных k Значит, последовательность {a_k} не может стремиться к нулю; ряд расходится.◄

Замечание. При q = 1 радикальный признак Коши не не дает ответа на вопрос о сходимости ряда : в этом случае ряд может оказаться сходящимся, но может и расходиться.

Пример 10. Применим радикальный признак Коши к ряду : =

Следовательно, ряд расходится.