7. Дискретные передаточные функции (дпф)
Дискретной передаточной функцией W(z) называется отношение Z-преобразования выходного сигнала к Z-преобразованию входного сигнала при нулевых начальных условиях (рис. 11):
.
Определим дискретную передаточную функцию интегратора «по Эйлеру». В непрерывном варианте процесс интегрирования имеет вид
,
где у0 – начальное значение функции.
Рис. 11. Дискретная передаточная функция
При дискретном интегрировании x(t) представляется в дискретные моменты времени как x*(t). Интегрирование может производиться либо по значениям x*(t) в моменты t = kT, где k – текущий интервал дискретности и x*(t) = x(kT) (интегрирование по Эйлеру с «избытком», рис. 12, б); либо по значениям x*(t) = x(k – 1)T в конце предыдущего интервала дискретности t = (k – 1)T (интегрирование по Эйлеру с «недостатком», рис. 12, а).
Рис. 12. Интегрирование по Эйлеру «недостатком» (а) и с «избытком» (б)
При интегрировании по Эйлеру «с недостатком»
,
где yk – текущее значение y*(t); yk–1 – значение y*(t) в конце предыдущего такта времени t = (k – 1)T, xk–1 – значение x*(t) в конце предыдущего такта времени t = (k – 1)T.
Переходя к аналогичным представлениям во времени в терминах z-преобразований при использовании “теоремы сдвига”, получаем
,
или
,
откуда
.
(16)
Проверим «работу»
полученной дискретной передаточной
функции. Подадим на вход дискретного
интегратора ступенчатое воздействие
вида
(рис. 13 а). Тогда
.
Рис. 13. Цифровой интегратор по Эйлеру с «недостатком» (а)
и с «избытком» (б)
Для восстановления
разделим числитель на знаменатель
(исключив сомножитель Т
для упрощения процедуры деления):
_z |z2-2z+1
z – 2 + 1z-1 z-1+2z-2+3z-3+…..
_0 + 2 – 1z-1
2 – 4z-1 + 2z-2
0 + 3z-1 – 6z-2 +3z-3
Подставим в результат деления z = epT. Тогда
,
что означает в терминах обратного преобразования Лапласа
,
как показано на рис. 13, а.
После восстановления квантованной функции y*(t) экстраполятором нулевого порядка ЭПО при интегрировании по Эйлеру с недостатком «действующая», сглаженная составляющая результата экстраполирования имеет отрицательный фазовый сдвиг = –Т/2 (см. сплошную линию правого графика рис. 13, а).
При интегрировании по Эйлеру «с избытком» имеем
,
где yk
– текущее значение
y*(t);
–
значение y*(t)
в конце предыдущего такта времени t
= (k
– 1)T,
xk
– текущее значение
х*(t).
Переходя к аналогичным представлениям во времени в терминах Z-преобразований при использовании “теоремы сдвига”, получаем
или
,
откуда
.
При интегрировании «по Эйлеру с избытком» происходит эффект фазового опережения = + Т/2 (рис. 13, б).
При интегрировании «по Эйлеру методом трапеций»
.
Переходя к аналогичным представлениям во времени в терминах Z-преобразований при использовании “теоремы сдвига”, получаем
,
откуда
.